第三节 一元二次方程及其应用 基础过关 1. [人教九上习题改编]若方程(a＋3)x2－x＋5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 ( ) A. a＝－3 B. a≠－3 C. a≠3 D. a≥－3 2. (2025廊坊模拟)一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可变形为( ) A. (x－4)2＝18 B. (x－8)2＝64 C. (x－4)2＝14 D. (x－4)2＝1 3. 若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是( ) A. 3x2＋2x－1＝0 B. 2x2＋4x－1＝0 C. －x2－2x＋3＝0 D. 3x2－2x－1＝0 4. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为 ( ) A. 8 000(1＋2x)＝12 000 B. 8 000(1＋x)2＝12 000 C. 8 000＋8 000(1＋x)＋8 000(1＋x)2＝12 000 D. 8 000×2(1＋x)＝12 000 5. 关于x的一元二次方程(x－1)2＝p2＋1的根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. (2025石家庄模拟)若关于x的一元二次方程x2－3x＋t＝0有两个不相等的实数根，则t的值不可以是( ) A. 0 B. －1 C. 3 D. 7. (2025石家庄模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋(2－k)x－1＝0的两根互为相反数，则k的值为( ) A. －2 B. 2 C. 6 D. －6 8. (2025廊坊模拟)已知关于y的一元二次方程y2－8y－m2＝0的两根分别为y1，y2，则下列说法不一定正确的是( ) A. y1≠y2 B. y1·y2＜0 C. y1＋y2＞0 D. 方程有两个不相等的实数根 9. (2025石家庄模拟)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0中，m＜1，则该方程的根的情况是 ( ) A. 没有实数根 B. 有两个同号的实数根 C. 两根之和为2 D. 两根之积为1 10. (2025达州)已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为_____. 11. (2025唐山模拟)一元二次方程x2－□x＋2＝0的两根为m，n，且mn(m＋n)＝14，其中“□”表示一个数，则“□”为_____. 12. (2025邯郸模拟)习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉： 解方程4(x－5)＝(x－5)2 解：方程两边同时除以(x－5)得4＝x－5(第一步) 4＋5＝x(第二步) x＝9(第三步) 淇淇： 解方程4(x－5)＝(x－5)2 解：移项4(x－5)－(x－5)2＝0(第一步) 因式分解(x－5)(4－x－5)＝0(第二步) 即x－5＝0或4－x－5＝0(第三步) 所以x1＝5，x2＝1(第四步) (1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程. 综合提升 13. (2025广安)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为_____. 14. 如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，则小路的宽度为_____m. 第14题图 新考法推荐 15. 新考法新定义 (2025石家庄模拟)定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”.例如，x2＝9和(x－2)(x＋3)＝0有且只有一个相同的实数根x＝－3，所以这两个方程为“同根方程”. (1)请判断一元二次方程(x－1)2＝16与x2－4x－5＝0是否为“同根方程”，说明理由； (2)若关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0与x2－m＝0为“同根方程”，求m的值. 参考答案 1. B 【解析】a＋3≠0，∴a≠－3. 2. A 【解析】原方程变形为x2－8x＋16－16－2＝0，(x－4)2－18＝0，∴(x－4)2＝18. 3. D 【解析】根据一元二次方程的求根公式x＝，可得a＝3，b＝－2，c＝－1，∴这个一元二次方程可以是3x2－2x－1＝0. 4. B 【解析】由题意可得，8 000(1＋x)2＝12 000，故选B. 5. B 【解析】(x－1)2 ... ...
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