2.1 认识无理数 课件（共30张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 课程名称：2.1 认识无理数 学科：数学 年级：八年级 授课教师：[教师姓名] 幻灯片 2：学习目标 回顾有理数的定义与分类，明确有理数的局限性（不能表示所有实际长度）。 理解无理数的定义（无限不循环小数），能区分有理数与无理数。 能举例说明常见的无理数（如\(\sqrt{2}\)、π），了解无理数的基本特征，提升数系认知能力。 幻灯片 3：知识回顾与情境导入 知识回顾： 有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数统称为有理数，可表示为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0）； 有理数的特征：有限小数或无限循环小数（如 3.2、\(0.\dot{3}\)），所有有理数都能化为分数形式。 情境导入： 场景 1：边长为 1 的正方形，其对角线长度是多少？根据勾股定理，对角线长度\(l\)满足\(l^2 = 1^2 + 1^2 = 2\)，即\(l = \sqrt{2}\)，\(\sqrt{2}\)是整数或分数吗？ 场景 2：圆的周长与直径的比值是圆周率 π，π=3.1415926535…，它是有限小数或无限循环小数吗？ 提问引导： \(\sqrt{2}\)和 π 能化为分数形式吗？它们属于有理数吗？ 除了有理数，数系中还存在哪些类型的数？ 幻灯片 4：无理数的引入 ——— 从\(\sqrt{2}\)说起 1. 探究\(\sqrt{2}\)是否为有理数 假设与推理： 假设\(\sqrt{2}\)是有理数，则可表示为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为互质的整数，q≠0），两边平方得\(2 = \frac{p^2}{q^2}\)，即\(p^2 = 2q^2\)。 由此可知\(p^2\)是偶数，故 p 是偶数（奇数的平方为奇数），设 p=2k（k 为整数），代入得\((2k)^2 = 2q^2\)，即\(4k^2 = 2q^2\)，化简得\(q^2 = 2k^2\)，故 q 也是偶数。 p 和 q 均为偶数，与 “p、q 互质” 矛盾，因此假设不成立，\(\sqrt{2}\)不是有理数。 \(\sqrt{2}\)的小数特征： 通过计算可得\(\sqrt{2} \approx 1.41421356237 \)，其小数部分无限且不循环，无法化为分数形式。 2. 类似的无理数 除\(\sqrt{2}\)外，\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{7}\)等非完全平方数的算术平方根，其小数部分均为无限不循环小数，均不是有理数。 幻灯片 5：无理数的定义与特征 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。 关键词解析： “无限”：小数部分的位数无限，没有尽头； “不循环”：小数部分没有重复出现的固定规律（如 1.010010001…，没有循环节）； 与有理数的本质区别：有理数是有限小数或无限循环小数（可化为分数），无理数是无限不循环小数（不可化为分数）。 2. 无理数的基本特征 特征维度 无理数 有理数 小数形式 无限不循环 有限或无限循环 分数表示 不能表示为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0） 可表示为\(\frac{p}{q}\) 常见例子 \(\sqrt{2}\)、π、1.010010001… 3、\(\frac{1}{2}\)、\(0.\dot{6}\) 3. 常见的无理数类型 （1）非完全平方数的算术平方根：如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{6}\)等（完全平方数的算术平方根是整数，属于有理数，如\(\sqrt{4}=2\)）； （2）圆周率及相关数：如 π、2π、π+1 等（π≈3.1415926535…，无限不循环）； （3）有规律的无限不循环小数：如 1.01001000100001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）、2.121121112… 等（虽有规律，但不循环）。 幻灯片 6：有理数与无理数的区别与联系 1. 区别 对比维度 有理数 无理数 定义 整数和分数的统称 无限不循环小数 小数形式 有限或无限循环 无限不循环 分数转化 可化为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0） 不可化为分数形式 确定性 循环节固定（无限循环时） 无固定循环节 2. 联系 （1）有理数和无理数都属于实数，共同构成实数系； （2）两者都可以用数轴上的点表示（后续学习）； （3）有理数 ... ...