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课件网) 幻灯片 1：封面 课程名称：1.3 勾股定理的应用 学科：数学 年级：八年级 授课教师：[教师姓名] 幻灯片 2：学习目标 回顾勾股定理的内容及逆定理，能熟练运用公式 \(a^2 + b^2 = c^2\)（\(c\) 为斜边）进行计算。 掌握勾股定理在实际场景中的应用方法，能解决 “已知两边求第三边”“判断三角形是否为直角三角形”“折叠与最短路径” 等典型问题。 培养 “数形结合” 思维，提升将实际问题转化为几何模型的能力，感受数学与生活的联系。 幻灯片 3：知识回顾与情境导入 知识回顾： 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边为 \(a\)、\(b\)，斜边为 \(c\)，则 \(a^2 + b^2 = c^2\)。 勾股定理逆定理：若一个三角形的三边长 \(a\)、\(b\)、\(c\) 满足 \(a^2 + b^2 = c^2\)，则这个三角形是直角三角形（\(c\) 为斜边）。 常见勾股数：如（3,4,5）、（5,12,13）、（6,8,10）等，可快速用于计算。 情境导入： 场景 1：一架梯子长 10 米，斜靠在竖直的墙上，梯子底部距离墙根 6 米，梯子顶端能到达墙上多高的位置？ 场景 2：一艘轮船从港口出发，向正东方向行驶 12 千米，再向正北方向行驶 9 千米，此时轮船距离港口有多远？ 提问引导： 这两个场景中的问题，能否转化为直角三角形的边长计算问题？ 如何确定直角三角形的 “直角边” 和 “斜边”，进而用勾股定理求解？ 幻灯片 4：勾股定理应用的核心思路 勾股定理的应用本质是 “构建直角三角形模型”，核心步骤如下： 建模：将实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边长关系，明确直角边（\(a\)、\(b\)）和斜边（\(c\)）——— 通常 “垂直关系”（如墙与地面垂直、东西与正北方向垂直）对应直角，斜边为最长边（如梯子、距离）。 计算： 若已知两直角边，求斜边：\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)； 若已知斜边和一条直角边，求另一条直角边：\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\) 或 \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)； 若已知三边，判断是否为直角三角形：验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。 验证：结合实际场景检验结果的合理性（如长度为正数、符合实际尺寸）。 幻灯片 5：例题讲解 1（已知两边求第三边 ——— 生活场景） 类型 1：梯子靠墙问题（已知斜边和一直角边，求另一直角边） 例 1：如图，一架梯子 AB 长 13 米，斜靠在竖直的墙壁 AC 上，梯子底部 B 距离墙根 C 的距离为 5 米，求梯子顶端 A 到地面的高度 AC。 解答与分析： 第一步：构建直角三角形模型 ——— 墙壁 AC 与地面 BC 垂直，故△ABC 为直角三角形，直角在 C，斜边 AB = 13 米（梯子长），直角边 BC = 5 米（底部距墙根距离），求另一直角边 AC（顶端高度）。 第二步：代入勾股定理公式（已知斜边和一直角边，求另一直角边）：\(AC^2 + BC^2 = AB^2\)\(AC^2 + 5^2 = 13^2\)\(AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\)\(AC = \sqrt{144} = 12\)（米，长度为正，舍去负根）。 第三步：验证合理性 ———12 米小于梯子长度 13 米，符合实际（梯子顶端高度不会超过梯子总长）。 答：梯子顶端 A 到地面的高度 AC 为 12 米。 类型 2：航海距离问题（已知两直角边，求斜边） 例 2：一艘轮船从港口 O 出发，先向正东方向行驶至 A 点（OA = 12 千米），再向正北方向行驶至 B 点（AB = 9 千米），求此时轮船与港口 O 的距离 OB。 解答与分析： 第一步：构建直角三角形模型 ——— 正东与正北方向垂直，故△OAB 为直角三角形，直角在 A，直角边 OA = 12 千米、AB = 9 千米，求斜边 OB（轮船与港口距离）。 第二步：代入勾股定理公式（已知两直角边，求斜边）：\(OA^2 + AB^2 = OB^2\)\(12^2 + 9^2 = OB^2\)\(OB^2 = 144 + 81 = 2 ... ...
