4.3.1正比例函数的图象与性质 课件（共35张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 课程名称：4.3.1 正比例函数的图象与性质 学科：数学 年级：八年级 授课教师：[教师姓名] 幻灯片 2：学习目标 回顾正比例函数的定义（\(y = kx\)，\(k 0\)），明确其与一次函数的从属关系（特殊的一次函数）。 掌握正比例函数图象的绘制方法（两点法），理解其图象为过原点的直线。 探究并掌握正比例函数的性质（\(k\)的正负对函数增减性、图象倾斜方向的影响），能结合性质分析函数的变化规律。 幻灯片 3：知识回顾与情境导入 知识回顾： 一次函数的定义：\(y = kx + b\)（\(k 0\)），当\(b = 0\)时，函数变为\(y = kx\)（\(k 0\)），称为正比例函数，是特殊的一次函数。 函数的表示方法：列表法、解析式法、图象法，图象法可直观展示函数变化趋势。 情境导入： 问题 1：小明购买铅笔，每支铅笔 0.5 元，购买数量\(x\)（支）与总费用\(y\)（元）的函数关系为\(y = 0.5x\)（正比例函数），若要画出该函数的图象，需要描哪些点？图象是什么形状？ 问题 2：对比两个正比例函数\(y = 2x\)和\(y = -2x\)，它们的图象倾斜方向是否相同？\(y\)随\(x\)的变化规律有何差异？ 提问引导： 正比例函数的图象有什么共同特征？是否都经过某个固定点？ 正比例函数中参数\(k\)的取值对图象形状和函数性质有什么影响？ 幻灯片 4：正比例函数的定义回顾与辨析 1. 定义内容 一般地，形如\(y = kx\)（其中\(k\)是常数，且\(k 0\)）的函数，叫做正比例函数，其中\(k\)叫做比例系数。 核心特征： 解析式为 “一次项 + 常数项” 的形式，且常数项\(b = 0\)（无常数项）； 自变量\(x\)的次数为 1，系数\(k 0\)（若\(k = 0\)，则\(y = 0\)，为常数函数，非正比例函数）。 2. 正比例函数与一次函数的关系 从属关系：正比例函数是一次函数的特殊情况（\(b = 0\)），一次函数包含正比例函数，用集合表示为：\(\{ °\} \subset \{ °\}\)。 示例： 是正比例函数：\(y = 3x\)（\(k=3 0\)，\(b=0\)）、\(y = -\frac{1}{2}x\)（\(k=-\frac{1}{2} 0\)，\(b=0\)）； 非正比例函数：\(y = 2x + 1\)（\(b=1 0\)，是一次函数）、\(y = 5\)（\(k=0\)，是常数函数）。 3. 定义辨析示例 例：判断下列函数是否为正比例函数，若是，指出比例系数\(k\)；若不是，说明理由： （1）\(y = \frac{1}{3}x\)：是正比例函数，\(k = \frac{1}{3}\)； （2）\(y = x \)：不是，自变量\(x\)的次数为 2，不是一次函数； （3）\(y = 0x\)：不是，\(k = 0\)，不符合\(k 0\)的条件； （4）\(y = -x\)：是正比例函数，\(k = -1\)（可看作\(y = -1 x\)）。 幻灯片 5：正比例函数图象的绘制方法 1. 绘制步骤（以\(y = 2x\)为例） 步骤 1：列表（取特殊点，简化计算） 正比例函数\(y = kx\)的图象过原点（\(x=0\)时，\(y=0\)），故优先取\(x=0\)，再取 1 个非零值（如\(x=1\)或\(x=-1\)），减少计算量： \(x\) 0 1 \(y = 2x\) 0 2 步骤 2：描点 在平面直角坐标系中，找到点（0，0）（原点）和（1，2），用实心圆点标出。 步骤 3：连线 用直尺将两点沿两端延伸，画出直线，即为\(y = 2x\)的图象（直线向两端无限延伸，无端点）。 2. 关键结论：正比例函数的图象是过原点的直线 推导：对于任意正比例函数\(y = kx\)，当\(x=0\)时，\(y=0\)，故图象必过原点（0，0）；同时，一次函数的图象是直线，正比例函数作为特殊的一次函数，图象也是直线，因此正比例函数的图象是经过原点的直线。 3. 简化绘制：“两点法”（必取原点 + 1 个非零点） 因正比例函数图象是过原点的直线，只需确定两个点即可画出直线，通常取： 点 1：原点（0，0）（固定点，无需计算）； 点 2：\(x=1\)时对应的点（1，k）（计算简便，直接 ... ...