15.3.2等边三角形-第2课时含30°角的直角三角形的性质 课件(共20张PPT) 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

(课件网) 1.探索并证明含30° 角的直角三角形的性质. 2.会运用含30° 角的直角三角形的性质进行相关证明和计算. 30° 用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（即30°角所对的直角边）与斜边的长度，你有什么发现吗？ 一起来看看吧！ 探究 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？ C A B 通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半. 试着证明你的 结论. 30° 证明：在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC = AB. 分析：要证明BC= AB，只要证明2BC=AB. 为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可. C A B 30° C A B D 30° 如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD， 则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°， 所以△ABD是等边三角形， 所以BD=AB. 又BD=2BC， 所以BC=AB. 你还有其他证明方法吗？ C A B 证明：在斜边AB上截取BD=BC，连接CD. ∵在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴∠B=60°. ∵BD=BC，∴△BCD为等边三角形， ∴∠DCB=60°，CD=BC=BD. ∴∠ACD=∠A=30°， ∴AD=CD. ∴BC=CD=BD=AD. ∴BC= AB. D 归纳总结 含 30° 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°， ∴BC = AB. C A B 思考 这个性质反过来说还成立吗？ 猜想：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 请试着证明你的猜想. C A B 30° 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC = AB. 求证：∠A=30°. 如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD， 则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为BC = AB，CD=BC， 所以BD=AB=AD. 所以△ABD是等边三角形， 所以∠BAD=60°， 所以∠A=30°(“三线合一”). D 拓展延伸 直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 几何语言： 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC= AB，∴∠A=30°. C A B 例1 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4m，∠A = 30°. 求立柱 BC，DE的长. 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°， ∴BC = AB，DE = AD. ∴BC = ×7.4 = 3.7 . 又 AD = AB， ∴DE = AD = ×3.7 = l.85 . 答:立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是1.85 m. 变式 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 15°，DE 是 AB 的垂直平分线，BE = 5，求 AC 的长． ∵ DE 是 AB 的垂直平分线， ∴ BE = AE= 5. ∴∠B = ∠EAB = 15°. ∴∠AEC = 30°. ∵∠C = 90°， ∴ AC = AE = 2.5. 解：连接 AE. 在直角三角形中，遇到15°角，常借助角平分线或线段垂直平分线构造30°角解题. 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AB的长为( ) A.3 B.5 C.8 D.9 C 2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于 (　　) A．3 B．2 C．1.5 D．1 ∵ PC∥OA， ∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°. 又∵ PC＝3，∴ PE＝1.5. ∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA， ∴ PD＝PE＝1.5. 解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E. E C 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是(　　) A. 8 ... ...