高考创新题---立体几何与平面解析几何的交汇

本资料来自于资源２１世纪教育网www.21cnjy.com 高考创新题--立体几何与平面解析几何的交汇 在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的 两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。【来源：21·世纪·教育·网】 1.空间轨迹 教材中，关于轨迹，多在平面几何与平面解析几 何中加以定义，在空间中，只对球面用轨迹定义作了描述。如果我们把平面解析几何中的定点、定直线不局限在同一个平面内，则很自然地把轨迹从平面延伸到空间。21世纪教育网版权所有 例1，（高考重庆卷）若三棱锥A—BCD的侧 面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是（ ） 解：设二面角A—BC—D大小为θ，作PR⊥面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴为小于1的常数，故轨迹图形应选（D）。 例2，已知边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，在正方体表面上距A为（在空间）的点的轨迹是正方体表面上的一条曲线，求这条曲线的长度。21·世纪*教育网 解：此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD—A1 B1C1D1，各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成二类：ABCD，AA1DD1，AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为，A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为，∴这条曲线长度为。 2．平面几何的定理在立体几何中类比 高考考纲对考生思维能力中明 确要求“会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能合乎逻辑地、准确地进行表述”，类比推理可考查考生利用旧知进行知识迁移、组合和融汇的能力，是一种较好地考查创新能力的形式，平面几何到立体几何的类比，材料丰富，操作性强，在历年高考中均有不俗表现。 例3，（高考广东卷）由图(1)有面积关系：，则由图(2)有体积关系 （答案：） 3．几何体的截痕 例：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨 型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab，其中a,b为长、短半轴长）。21教育网 解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影 椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时 b=R，a==2R，∴离心率， 投影面积S=πab=π·k·2R=2πR2=18π。 4．几何体的展开 例：有一半径为R的圆柱，被与轴成45°角平面相截得“三角”圆柱ABC,则此“三角”圆柱的展开图为（ ）21cnjy.com 解：设圆柱底面中心O，底面圆周上任一点P'，过P'的圆柱母线与截口交点为P， ∠AOP'=θ，则∵∠CBA=45 °，作P'Q⊥AB于Q，∴|PP'|=|AC|－|AQ|=2R－（R－Rcosθ）=R（1+cosθ），AP'=Rθ。21·cn·jy·com ∴在柱面展开图中，以AB直线为x轴，AC为y轴建立直角坐标系，相应点P坐标为（x,y），则有消去得，展开图轮廓线为余弦曲线，故应选（D）2·1·c·n·j·y A B C D P Q R A B C P D A B C P C A B C P B A B C P A A P B A‘ B‘ 图（1） P A B C A‘ B‘ C‘ 图（2） B A C P P’ O Q A C (C)C0 A C (D)C0 A C ... ...