2.2《从函数观点看一元二次方程》 教案——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

从函数观点看一元二次方程 【教学目标】 1.理解函数零点概念，掌握一元二次方程的根的个数与其所对应一元二次函数零点之间的关系. 2.经历探索“一元二次方程与其所对应一元二次函数之间的关系”的过程，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力；培养从具体到抽象、从特殊到一般的归纳概括能力；让学生体会方程与函数之间的联系，实现从感性认识到理性的认知过程；通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学模型的思想. 3.通过一系列富有探究性的问题，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，养成严谨的科学态度及勇于探索的精神.培养与他人交流、合作的意识. 【教学重点】一元二次方程的根与对应一元二次函数零点之间的关系. 【教学难点】探索方程与函数之间关系的过程，从函数的观点来看方程，理解函数与方程之间的联系. 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习. 【教学手段】计算机、投影仪. 【核心素养】数学运算，数学抽象，逻辑推理. 【教学过程】 一、课前任务 课前思考任务： 问题1：如何探究一元二次方程的根与其对应的一元二次函数与x轴交点横坐标之间的关系？ 引导学生思考，先研究具体问题，再扩展到一般性证明.而每种证明又可以从三种情况分别讨论. 【设计意图】课前提出本节课主要研究的问题，激发学生思考，提高学习兴趣. 二、创设情景 1.探究具体的一元二次方程的根与其对应一元二次函数的零点之间的关系. 问题2：x2－4x+3＝0有根吗？若有，根是多少？一元二次函数y=x2－4x+3图象与x轴有交点吗？若有，交点横坐标是多少？ 【预案】方程x2－4x+3＝0有两个不相等的实数根，分别是1、3；函数y＝x2－4x+3的图象与x轴有两个交点，分别是（1，0）、（3，0），其横坐标分别为1、3. 问题3：观察方程x2－4x+3＝0的根与对应一元二次函数y=x2－4x+3图象与x轴交点横坐标，你发现它们之间都有哪些关系？ 【预案】引导学生从个数及大小关系两方面比较分析. （1）从个数上来看，方程x2－4x+3＝0有两个不相等的实数根，一元二次函数y=x2－4x+3与x轴有两个交点。所以方程的根的个数与对应函数的图象与x轴交点个数相同. （2）从大小关系上来看，方程的根与对应函数的图象与x轴的交点横坐标相等. 【设计意图】以一个具体的的一元二次方程x2－4x+3＝0及其所对应的一元二次函数y＝x2－4x+3为切入点，学生初步探究一元二次方程的根与其对应一元二次函数的零点在个数与数量上有什么关系.通过具体的求算过程，获得一元二次方程实数根与对应二次函数零点之间关系的初步感性认识。 三、归纳探索 问题4：为什么方程x2－4x+3＝0的根与对应一元二次函数y=x2－4x+3的图象与x轴交点之间有上述关系？根据自己的理解解释一下？ 【设计意图】激发学生进一步思考：为何方程的根与其对应函数的零点在个数与数量上有上述关系？引导学生追因溯源，加深对一元二次方程实数根与对应二次函数零点之间关系的认识. 问题5：观察方程x2－4x+3＝0与相应函数y=x2－4x+3在形式上有什么联系？并据此解释为什么方程x2－4x+3＝0的根与对应一元二次函数y=x2－4x+3的图象与x轴交点之间有上述关系？ 【预案】方程x2－4x+3＝0就是函数y=x2－4x+3当函数值y＝0时的表达式. y＝0即为x轴. 【设计意图】引导学生从联系的观点上看问题.观察具体的一元二次方程与其对应二次函数形式上的联系，训练学生的观察能力.可以发现方程x2－4x+3＝0就是函数y=x2－4x+3当函数值y＝0时的表达式.从具体的例子中理解二次方程实数根与其对应二次函数零点相等的原因，为后续一般性探究做准备. 初步提出零点的概念：1，3是二次函数y=x2－4x+3的两个零点. 提出零点的概念: 我们把二次函数与x轴交点的横坐标叫作二次函数的零点. 【设计意图】适时地提出概念， ... ...