专题04 二次函数与一元二次方程 考点01（★★★）判断抛物线与x轴的交点的情况 5 考点02（★★★）根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围） 6 考点03（★★★）利用二次函数求一元二次方程的近似解 7 考点04（★★★）利用二次函数的图象解不等式 9 考点05（★★★）二次函数与一元二次方程关系的综合应用 12 1．二次函数与一元二次方程的关系 （1）二次函数y＝ax2+bx+c，当y＝0时，得到一元二次方程ax2+bx+c＝0，所以抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根． 反之亦然． （2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与与x轴的三种位置关系对应一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的三种情况，如下： Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 2．用图象法求一元二次方程的根 （1） 方法 步骤 结论 方法1 ①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c； ②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标； ③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根． 图象与x轴的公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根． 方法2 先将一元二次方程变为ax2+bx＝－c，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2+bx和直线y＝－c． 两图象公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根． 方法3 先将一元二次方程变为ax2＝－bx－c，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2和直线y＝－bx－c． 两图象公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根． （2）利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： ①作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； ②由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； ③观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 3．二次函数与一元二次不等式的关系 （1）抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． （2）二次函数（a>0）与一元二次不等式（a>0）及（a>0）之间的关系如下： 判别式 抛物线， 抛物线与x轴的交点 不等式 的解集 不等式 的解集 或 （或） 无解 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 1．利用二次函数图象求二次不等式的步骤： （1）作出二次函数的图象，并由图象确定图象与x轴有无交点，有几个交点； （2）观察图象，根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解； 根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴上方的部分，则不等式ax2+bx+c>0无解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴下方的部分，则不等式ax2+bx+c<0无解． 2．抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式： 当时，设抛物线与x轴的两个交点为A（，0），B（，0），则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即（） 3．利用二次函数求一元二次方程的近似解 （1）利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下： ①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c； ②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标； ③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根． （2）用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间． （3）通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下： ①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n； ②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值 ... ...
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