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课件网) 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.两角差的余弦公式 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 题型觉醒 高频题型：题型一、题型二、题型三、题型六 题型一 给角求值 1.（2025湖南长沙一中期末）计算: ( ) A A. B.2 C.1 D. 【解析】 先将换成 ,再切化弦,利用差角公式及诱导公式化简即可. 原式 . 2.（多选/2025江苏南通月考）下列四个选项中,结果正确的是( ) BC A. B. C. D. 【解析】 另解: ； 因为 ,所以 ； 因为 , , 所以 ； . 坑神有话说 给角求值问题,所给角往往不是特殊角,解决此类问题的关键是寻找角与角的关系,比如和、 差是特殊角,或者角的二倍为特殊角,找到关系后,一般是逆用和、差角公式将非特殊角化 为特殊角求值. 3.计算： __. 【解析】 看到分式形式且为正切式的给角求值问题,首先想到的就是两角和、差的正切 公式的逆用. （ 特殊值“1”的替换） . 坑神有话说 如果所给式子是分式,且当分子、分母中出现1,3, 时,常转换为角,然后考虑逆用两角和、 差的正切公式. . . 题型二 给值求值（条件求值） 题组一 4.（2025安徽阜阳期末）已知,,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 根据与,可计算出 与 的值,从而求出 . 因为,所以 ,又 , 所以,解得 ,所以 , 故 . 5.（2025甘肃临夏州月考）已知,,则 ( ) D A. B. C. D. 根据 ,将已知条件向 , 转化,可联想到将已知等式平方. 【解析】 因为 ,所以 . 因为,所以 , 所以 , 所以,所以 ,故 . 6.（2025浙江杭州期末）已知 , 为锐角,, . （1） 求证: ； 【答案】 因为,所以,又 , 所以,所以 ,又 , 为锐角，所以 ,所以 , 所以 . （2） 求 的值. 【答案】 因为 , 所以 . 因为 , 为锐角,所以,,所以 , 所以 （ 若忽略范围,则可能产生多解）,所以 . . . . . 题组二 巧用拆分角 7.（2025河北沧州期末）已知 ,,且,, 则 ( ) A A. B. C. D. 将所求角拆成已知角,即 , 已知, 由同角三角函 数基本关系易求,则 易得. 【解析】 因为 ,,所以 . 因为,所以 . 因为,所以 ，所以 , 所以,则 . 8.（2025湖北武汉重点中学联考期末）已知,且,则 的 值是( ) A A. B. C. D. 将所求角拆成已知角,即 ,结合同角三角函数基本关系及两 角和的正弦公式即可求解. 【解析】 因为,所以 , 又,所以 , 所以 . 9.（2025江苏常州期中）已知 ,,且,,则 ( ) B A. B. C. D. ,利用角的范围求出 , ,再利用两角差的 余弦公式求解. 【解析】 由,,可得 ,则 . 因为,所以或 , 又,,所以 , , 所以 . 10.（2025江苏丹阳质检）已知,且 是第一象限角,那么 _____. ,利用角的范围求出 ,再利用两角差的正弦公式 求解. 【解析】 因为 为第一象限角,则 , , 所以 ,,又,所以 , 则 . 11. 已知,,,,则 的值 为( ) A A. B. C. D. 所求角看似与已知角无关,但利用诱导公式 ,就可以 发现其关系,即 ,展开即可求解. 【解析】 . 因为,所以,又,所以 在第二象限或第三象限, 由于 , 又在上单调递增,且,所以当在第三象限时, , 与矛盾,所以 在第二象限(此处为本题难点,一般都会直接由 ,判断出在第二象限或第三象限就结束),所以 . 因为,所以,则 . 因为,所以 . 所以 ,即 . 题型三 给值求角 12.（2025河南郑州期末）已知 , 满足,则 _____ _____. 【解析】 要求角 的大小,题中条件与正切有关,所以考虑由条件求 的正切值， 从而得解.由 ,即 ,整理得,即 ,所以 . 13.（2025江苏如皋中学月考）已知 , 为锐角,,,则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】 由同角三角函数的基本关系可得 ， 和 的值,易知 ,利用两角和的余弦公式求出,即可求出 的值. , 为锐角,, , ,, , . 又, . 14.（1） （2025江苏南通月考）已知,,且及 , 求 的值; 【答案】 由同角三角函数的基本关系可得 , 的值,结合两角和的正弦公 ... ...
