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课件网) 第五章 三角函数 专项觉醒1 三角平方差公式的应用 1.（2025江西南昌期中）化简 的结果是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 利用三角平方差公式得原式（正弦平方差公式） （（余正弦平方差公式）（ （二倍角公式）） . 按和差角公式展开:原式 （二倍角公式）. 将, 看成两个角,待求式具有两角差余弦公式右边的特征,逆用公式即可. 原式 . . . . . . . . . 2.若的三个内角,,满足,则 是( ) A A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形 【解析】 利用二倍角公式将已知等式化为 , 所以（正弦平方差公式）,所以 ,所 以( ), 则.又 ,所以,所以 是直角三角形. . . . . 坑神有话说 在解三角形问题中,通常给出边之间的关系,利用正弦定理转化为角之间的关系,再利用三 角恒等变换解决问题. 3.（多选/2025湖北孝感检测）已知函数, ,则下列结论中 正确的是( ) ABC A.的最小正周期为 B.函数的图象关于直线 对称 C.函数在区间上有最大值 D.函数在区间 上单调递增 【解析】 利用正弦平方差公式得 . 的最小正周期 ； 时,,所以直线是 的图象的一条对称轴； 时,,令,解得,所以 在 上单调递减且,在 上单调递增, 所以时,取得最大值,为 . 4. 若,则 _____. 已知和待求恰好符合余弦平方差的等式特征,注意角是否一一对应. 【解析】 ,则 . 5.求值: __. 【解析】 原式 （解题关键:凑角使用平方差公式） . 原式 （积化和差公式） （二倍角的 升幂公式） . . . . . . . 6.已知,,则 _____. 题目出现 ,恰好是正（余）弦平方差的等式右边的形式. 【解析】 由正弦平方差公式得 ,所以 ,所以 （二倍角公式） . 因为,所以（同角三角函数基本关系） . . . . . 第五章 三角函数 专项觉醒2 换元思想的应用 题型一 单一三角函数的换元 1.（2024浙江省强基联盟联考）已知函数, 的值域为 ,则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 利用二倍角公式化函数解析式为关于 的二次函数形式,利用二次函数的最 值和正弦函数的性质求解. 【解析】 因为 ,所以 . 令,（换元后,注意新元的取值范围）, , 易知,, . 由题意知,当时,,其中,此时的值域不是 ； 当时,,其中,此时的值域是 ； 当时,,其中,此时的值域不是 . 综上, . . . 2.（多选/2025海南海口期末）已知函数 ,有下列四个结论,其中正 确的结论为( ) CD A.在区间上单调递增 B. 是 的一个周期 C.当时,的值域为 D.的图象关于 轴对称 【解析】 因为是上的偶函数,所以 . 当时, . 设,则,则,在 上单 调递减, 又在上单调递增,所以在 上单调递减（复合函数的单调性:同增 异减）. ,所以 不是 的一个周期. 当时, . 设,则,则 . 因为,所以 . 的定义域为,因为 , 所以为偶函数,图象关于 轴对称. . . 3.（2025辽宁沈阳二中期中）设,是非零实数,且满足,则 _____. 【解析】 由题意可得, ,（左边与两角差的正切公式类似,考虑向其方向 构造）令 ,则,即 , 所以,,即,,故 . . . 题型二 与 的相互代换 4.（2025河南商丘联考）函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 【解析】 （发现解析式中 既有,又有,考虑换元），令, ,则 ,所以原函数转化为,,所以 的值域为 . . . 因为 , 且 , 所以 , 令,则 , 所以原函数转化为, , 当时, , 当时, , 即函数的值域为 . 5.（2024江苏镇江扬中市第二高级中学开学考试）已知 , 则 的最小值为( ) B A. B.1 C. D. 解析式中既有 ,又有 ,考虑换元,即令 , 利用平方关系得 ,再化简函数解析式求解. 【解析】 令,则,故 , 所以,则 , 所以原函数转化为,且 , 所以,当且仅当 时 等号成立,则在给定区间内等号不成立, 由对勾函数性质可知在 上单调递增, 所以在上单调递增,则的最小值为 . 坑神有话说 的换元模型: （1）令,则 , ； （2）令,则 , . 6. （2024山西大学附中月考）意大 ... ...
