8．3 圆的方程 1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 1．圆的方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)称为圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2(r>0)，表示以原点O为圆心，r为半径的圆． (3)圆的一般方程：对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到＋＝. ①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程； ②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点； ③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置 关系 d与r的 大小关系 图示 点P的坐标 满足条件 点在 圆外 d＞r (x0－a)2＋ (y0－b)2＞r2 点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋ (y0－b)2＝r2 点在 圆内 d0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆． 1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．( × ) (3)已知圆的方程为x2－2x＋y2＝0，过点A(1，2)可作该圆的两条切线．( √ ) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ ) 2．(人教A版选择性必修第一册P85T1改编)已知圆的圆心为(－3，4)，半径为5，则它的方程为( C ) A．(x－3)2＋(y－4)2＝5 B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 C．(x＋3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 解析：因为圆心为(－3，4)，半径为5，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.故选C. 3．(人教A版选择性必修第一册P102T7改编)若方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( B ) A．(－∞，－5) B．(－5，＋∞) C．(－∞，5) D．(5，＋∞) 解析：因为方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，所以42＋22＋4m>0，解得m>－5，即m的取值范围为(－5，＋∞).故选B. 4．(人教A版选择性必修第一册P85T2改编)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为( C ) A．(－1，＋∞) B．(－1，0) C．(－1，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析：因为点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，所以解得a∈(－1，0)∪(4，＋∞).故选C. 考点1 圆的方程 【例1】 (1)(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为( D ) A．(x＋)2＋(y－)2＝ B．(x－)2＋(y＋)2＝2 C．(x－)2＋(y＋)2＝ D．(x＋)2＋(y－)2＝2 【解析】 由题意设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a<0，b>0，r>0)， 则即 解得b＝－a＝r＝，所以圆C的方程为(x＋)2＋(y－)2＝2.故选D. (2)(2024·吉林长春三模)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三点的圆的方程为( C ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 【解析】 设经过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意可得 解得 所以经过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－2y＝0 ... ...
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