8．6 双曲线 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、轴长、渐近线、离心率). 3．了解双曲线的简单应用． 1．双曲线的定义 (1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 简 单 几 何 性 质 范围 x≤－a或x≥a， y∈R y≤－a或y≥a， x∈R 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 ±x ±x 离心率 e＝，且e∈(1，＋∞) 教材拓展 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线系方程可表示为－＝t(t≠0). 1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ ) 2．(人教A版选择性必修第一册P121T3改编)已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是( C ) A．－15 C．k<－1 D．k≠－1且k≠5 解析：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k<－1.故选C. 3．(人教A版选择性必修第一册P127习题T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±x． 解析：依题意知，双曲线9y2－16x2＝144即－＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±x. 4．(人教A版选择性必修第一册P127习题T1改编)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝17． 解析：根据题意及双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 考点1 双曲线的定义 【例1】 (1)已知一个动圆P与两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和C2：(x－3)2＋y2＝9都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为( A ) A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1 C．x2－＝1(x≥1) D．x2－＝1(x≥1) 【解析】 由题意易知两圆圆心分别为C1(－3，0)，C2(3，0)，半径分别为r1＝1，r2＝3，设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为r，根据题意有 |PC2|－|PC1|＝r2－r1＝2<|C1C2|，根据双曲线的定义知P的轨迹是以原点为中心，C1(－3，0)，C2(3，0)分别为左、右焦点，2为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).故选A. (2)F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上的一点，PF1与双曲线C的左支交于点Q.已知△PQF2是等边三角形，则双曲线C的实轴长为( C ) A．1 B． C．2 D．2 【解析】 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，如图．因为△PQF2是等边三角形，所以 |PQ|＝|PF2|＝|QF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，则|QF2|＝4a.在△PF1F2中，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝＝＝，整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a2＝6，解得a＝1，所 ... ...
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