【精品解析】三角形的全等三角形（截长补短模型）-浙教版数学八年级上册培优训练

三角形的全等三角形（截长补短模型）-浙教版数学八年级上册培优训练 一、选择题 1．（2024八上·宁津期中）中，为角平分线，，则线段的长为（　　） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；截长补短构造全等模型 【解析】【解答】在上截取，连接，如图 ∵为角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴，，即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【分析】在上截取，连接，根据 角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，即，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 2．如图， 平分 ， 过 作 交 于点 ， 若点 在 上， 且满足 ， 则 的度数为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；截长补短构造全等模型；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：如图，做辅助线，DF=DF'=DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠FBD=∠EBD 由图形的对称性可知△FBD≌△EBD， ∴∠DFB=∠DEB， ∵DE∥AB， ∴∠ABC=∠DEC ∵∠ABC= ∴∠DEB=， ∴∠DFB=∠DEB=， 当点F位于点F'处时， ∵∠FBD=∠EBD ∴∠DFF'=∠DEC=， ∵DF=DF'， ∴∠DF'B=∠DFF'=. 故答案为：C. 【分析】本题作好辅助线，根据图形的对称性质得到△FBD≌△EBD，再结合题目中的已知信息DE∥AB，即可求得∠DFB=∠DEB=，当点F位于点F'处时，通过DF=DF'可以知道△DFF'为等腰三角形，所以∠DF'B=∠DFF'=. 3．（2024八上·长兴期中）如图，在中，为AB的中点，为CD上一点，为BC延长线上一点，且.有下列结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】截长补短构造全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：∵AC=BC， ∴∠CAD=∠B=30°，①正确； 如图，连接PB，由题可得CD为AB的中垂线，即PB=PA，∠PAD=∠PBA， ∵PA=PE=PB， ∴∠PEC=∠PBC， ∴∠PAD+∠PEC=∠PBA+∠PBC=∠B=30°，②正确； 由②知 ，且∠B=30°， 则∠PAE+∠PEA=180°-30°-30°=120°， ∵PA=PE， ∴∠PAE=∠PEA=60°，则为等边三角形 ，③正确； 如图，作P关于AB的对称点P'，连接P'A，P'D， 则AP'=AP=AE，∠PAD=∠P'AD， ∵∠EAC=60°-∠CAP，∠P'AC=30°+∠DAP'=30°+∠PAD=60°-∠CAP ∴∠EAC=∠P'AC 在△EAC和△P'AC中， ∴△EAC≌△P'AC（SAS） ∴CE=CP'=CP+2PD，④正确； 故答案为：D. 【分析】①利用等边对等角可判断，②连接PB后，可得到∠PAD+∠PEC=∠B从而得到结论，③利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形来判断，④利用对称构造出2PD后，结合三角形全等进行说明. 二、填空题 4．（2024九上·福田月考）如图，点C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接、．现给出以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；截长补短构造全等模型 【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， 又∵∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， ∴△CDA≌△CEB ∴AD =BE，故①正确； ∵△ACD≌△BCE(已证)： ∠CAD =∠CBE ∠BPO=∠APC ∠AOB=∠ACB=60°，故②正确； 如图所示，过C点作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N， ∵△ BCE≌△ACD， S△BCE = S△ACD，BE = AD， ∴×BE×CM=×AD×CN， ∴CM=CN， ∴OC平分∠AOE， ∴∠COP=∠COQ， ∴∠BOP=∠DOQ， ∴∠BOC =∠DOC， 又∵∠CBO与∠CDO不一定相等， ∴∠OCB与∠D ... ...