【精品解析】特殊三角形之三线合一的拓展运用-浙教版数学八年级上册培优训练

特殊三角形之三线合一的拓展运用-浙教版数学八年级上册培优训练 一、选择题 1．（2024八上·长兴期中）如图，在中，为AB的中点，为CD上一点，为BC延长线上一点，且.有下列结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】截长补短构造全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：∵AC=BC， ∴∠CAD=∠B=30°，①正确； 如图，连接PB，由题可得CD为AB的中垂线，即PB=PA，∠PAD=∠PBA， ∵PA=PE=PB， ∴∠PEC=∠PBC， ∴∠PAD+∠PEC=∠PBA+∠PBC=∠B=30°，②正确； 由②知 ，且∠B=30°， 则∠PAE+∠PEA=180°-30°-30°=120°， ∵PA=PE， ∴∠PAE=∠PEA=60°，则为等边三角形 ，③正确； 如图，作P关于AB的对称点P'，连接P'A，P'D， 则AP'=AP=AE，∠PAD=∠P'AD， ∵∠EAC=60°-∠CAP，∠P'AC=30°+∠DAP'=30°+∠PAD=60°-∠CAP ∴∠EAC=∠P'AC 在△EAC和△P'AC中， ∴△EAC≌△P'AC（SAS） ∴CE=CP'=CP+2PD，④正确； 故答案为：D. 【分析】①利用等边对等角可判断，②连接PB后，可得到∠PAD+∠PEC=∠B从而得到结论，③利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形来判断，④利用对称构造出2PD后，结合三角形全等进行说明. 2．（2024八上·浙江期中）如图，在△ABC中，AC＝1，AC边上的中线。过点A作AE⊥BC于点E，记BE长为x，BC长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x-y C．xy D．x2+y2 【答案】C 【知识点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：如图，连接DE，过D作DF⊥EC， 由题意DE为Rt△AEC斜边上的中线，则DE=DC=AC=， ∵DF⊥EC， ∴FE=FC=（y-x），BF=x+（y-x）=（y+x） ∵DF2=DC2-FC2=BD2-BF2 ∴（）2-（)2=（）2-（)2 化简得xy= 故答案为：C. 【分析】连接DE，过D作DF⊥EC，根据直角三角形斜边中线得到DE=DC=AC=，根据三线合一得到FE=FC=（y-x），在Rt△DFB和Rt△DFC中利用勾股定理列方程，化简即可判断. 3．（2025八上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；胡不归模型；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：如图，连接，作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ， 、、， ， ， ∴， ∴， ∴当点在线段AM上时，即点E与点M重合时的最小值为， 此时再连接CD，则CD＝AC、， ∴， ， ∴， ，即：点的纵坐标为； 故选：C． 【分析】 如图，连接AB， 作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM，再连接CD，可利用勾股定理先求出AB的值，则可得，再由轴对称的性质可判定为等边三角形，再由等腰三角形三线合一知，即可把转化为线段CE，再利用直角三角形30度角的性质求出AM，则当点E与点M重合时取最小值，即线段AM的长，此时再连接CD，由轴对称的性质可得CD＝AC，再由等腰三角形三线合一结合直角三角形中30度角的性质可得点C为AM的三等分点，进而可求得AC、OC的长，由于点C在y轴上，即坐标可得． 二、填空题 4．（2024八上·义乌期中）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：延长，交于点， ，平分， ，，， ， ， ， ， ， ... ...