2.3.1.1有理数的乘方 课件（共27张PPT）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

(课件网) 2.3.1.1 有理数的乘方 有理数的乘方是有理数乘法的一种特殊形式，它将多个相同因数的乘法运算简化表达，是初中数学中重要的基本运算之一。乘方的引入不仅丰富了有理数的运算体系，也为后续学习更复杂的数学知识（如科学记数法、开方运算等）奠定了基础。 乘方的定义与表示 定义解读： 求\(n\)个相同因数\(a\)的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。其中，\(a\)叫做底数，\(n\)叫做指数。用符号表示为\(a^n\)，读作 “\(a\)的\(n\)次方” 或 “\(a\)的\(n\)次幂”。 例如：\(2 2 2 2\)表示\(4\)个\(2\)相乘，可简写为\(2^4\)，其中底数是\(2\)，指数是\(4\)，结果\(16\)是\(2\)的\(4\)次幂。 各部分名称： 在乘方表达式\(a^n\)中： 底数\(a\)：表示相同的因数，可以是任意有理数（正数、负数或\(0\)）。 指数\(n\)：表示相同因数的个数，通常为正整数（后续会学习零指数和负指数幂）。 幂：乘方运算的结果，即\(a^n\)的值。 特殊表示： 当指数为\(1\)时，通常省略不写，如\(a^1 = a\)（例如\(5^1 = 5\)）。 指数为\(2\)时，读作 “平方”，如\(a^2\)读作 “\(a\)的平方” 或 “\(a\) squared”；指数为\(3\)时，读作 “立方”，如\(a^3\)读作 “\(a\)的立方” 或 “\(a\) cubed”。 乘方与乘法的关系 乘方是乘法的简便运算，二者本质上是一致的： \(2^3 = 2 2 2\)（\(3\)个\(2\)相乘） \((-3)^4 = (-3) (-3) (-3) (-3)\)（\(4\)个\(-3\)相乘） \(0^5 = 0 0 0 0 0\)（\(5\)个\(0\)相乘） 通过这种转化关系，可将乘方运算转化为熟悉的乘法运算来计算结果。例如计算\((-2)^5\)，可转化为\((-2) (-2) (-2) (-2) (-2)\)，先算前两个因数的积\(4\)，再依次乘以后面的因数，最终得到\(-32\)。 乘方运算的符号规律 有理数乘方的结果符号由底数和指数共同决定，具体规律如下： 正数的任何次幂都是正数： 因为正数相乘的结果始终为正，与指数的奇偶性无关。例如：\(3^2 = 9\)（正数的平方为正），\(2^5 = 32\)（正数的五次方为正）。 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数： 负数的奇次幂：多个负数相乘时，若负因数个数为奇数（指数为奇），积为负。例如\((-2)^3 = -8\)（\(3\)个负数相乘，结果为负）。 负数的偶次幂：若负因数个数为偶数（指数为偶），积为正。例如\((-3)^4 = 81\)（\(4\)个负数相乘，结果为正）。 \(0\)的任何正整数次幂都是\(0\)： 因为\(0\)乘以任何数都得\(0\)，无论多少个\(0\)相乘，结果始终为\(0\)。例如\(0^7 = 0\)，\(0^{100} = 0\)。 注意区分\(-a^n\)与\((-a)^n\)： \(-a^n\)表示\(a^n\)的相反数，底数是\(a\)，指数是\(n\)，即\(-a^n = -(a a a)\)（\(n\)个\(a\)相乘的相反数）。例如\(-2^3 = -(2 2 2) = -8\)。 \((-a)^n\)表示\(n\)个\(-a\)相乘，底数是\(-a\)，指数是\(n\)。例如\((-2)^3 = (-2) (-2) (-2) = -8\)（此处结果虽与\(-2^3\)相同，但意义不同）。 当\(n\)为偶数时，二者结果不同：\(-3^4 = -81\)，而\((-3)^4 = 81\)。 乘方运算的步骤与示例 基本运算步骤： ① 确定底数和指数，明确运算意义（几个相同因数相乘）。 ② 根据底数的符号和指数的奇偶性，预判结果的符号。 ③ 计算底数绝对值的乘方，再结合预判的符号得到最终结果。 具体示例： 例 1：计算\(5^3\) 解：底数为\(5\)（正数），指数为\(3\)（奇），结果为正。 原式\(=5 5 5 = 125\) 例 2：计算\((-4)^2\) 解：底数为\(-4\)（负数），指数为\(2\)（偶），结果为正。 原式\(=(-4) (-4) = 16\) 例 3：计算\(-(-2)^5\) 解：先算\((-2)^5\)，底数为\(-2\)，指数为\(5\)（奇），结果为\(-32\)；再取其相反数，原式\(=-(-32) = 32\) 例 4：计算\(0.1^4\) 解：底数为\(0 ... ...