2.3.1.2有理数的混合运算 课件（共25张PPT）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

(课件网) 2.3.1.2 有理数的混合运算 有理数的混合运算是对有理数加减、乘除、乘方运算的综合应用，它需要在遵循严格运算顺序的基础上，灵活运用各种运算律简化计算过程。掌握混合运算的规则和技巧，是提升数学运算能力的关键环节。 混合运算的顺序规则 有理数混合运算的核心顺序可概括为 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的运算”，具体分级如下： 第一级运算：加法和减法（同级运算，从左到右依次进行）。 第二级运算：乘法和除法（同级运算，从左到右依次进行）。 第三级运算：乘方（优先级最高，需最先计算）。 若算式中含有多层括号，需按照 “小括号→中括号→大括号” 的顺序逐层计算，每去掉一层括号后，再按上述分级顺序进行运算。例如计算\(10 - [2^3 + (5 - 3 2) ·(-1)]\)，运算步骤如下： 小括号内：先算乘法\(3 2 = 6\)，再算减法\(5 - 6 = -1\)； 中括号内：先算乘方\(2^3 = 8\)，再算除法\(-1 ·(-1) = 1\)，最后算加法\(8 + 1 = 9\)； 括号外：算减法\(10 - 9 = 1\)。 运算顺序的具体应用 不含括号的混合运算： 严格遵循 “先乘方，再乘除，最后加减” 的顺序。例如计算\(-2^2 + 3 (-4) ·(-\frac{1}{2})\)： 第一步（乘方）：\(-2^2 = -4\)（注意区别\(-2^2\)与\((-2)^2\)）； 第二步（乘除）：\(3 (-4) = -12\)，\(-12 ·(-\frac{1}{2}) = 24\)； 第三步（加减）：\(-4 + 24 = 20\)。 含多层括号的混合运算： 从内到外逐层去括号，每步只处理当前最内层的运算。例如计算\(\{1 - [(-1)^3 + (1 - 0.5 \frac{1}{3})] 6\} ·(-2)\)： 最内层小括号：\(0.5 \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)，\(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)； 中层括号：\((-1)^3 = -1\)，\(-1 + \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}\)，\(-\frac{1}{6} 6 = -1\)； 外层括号：\(1 - (-1) = 2\)； 括号外：\(2 ·(-2) = -1\)。 简化运算的技巧 优先处理乘方运算： 乘方运算结果的符号和数值往往对后续计算影响较大，需优先准确计算。例如计算\((-3)^2 - 2^3 (-\frac{1}{2})^3\)： 先算乘方：\((-3)^2 = 9\)，\(2^3 = 8\)，\((-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}\)； 再算乘法：\(8 (-\frac{1}{8}) = -1\)，注意符号变化； 最后算减法：\(9 - (-1) = 10\)。 巧用运算律简化计算： 乘法分配律：在含括号的乘法运算中，可将括号外的因数分配到括号内各项。例如计算\((\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) (-12)\)： 原式\(=\frac{1}{2} (-12) - \frac{1}{3} (-12) + \frac{1}{4} (-12) = -6 + 4 - 3 = -5\)。 加法结合律与交换律：在加减运算中，将易凑整、互为相反数的数结合。例如计算\(3^2 + (-5) + (-9) + 5\)： 原式\(=9 + [(-5) + 5] + (-9) = 9 + 0 - 9 = 0\)。 乘法交换律与结合律：在乘除运算中，将互为倒数、能约分的数结合。例如计算\((-8) (-\frac{1}{2}) (-0.125) 4\)： 原式\(=[(-8) (-0.125)] [(-\frac{1}{2}) 4] = 1 (-2) = -2\)。 拆数与凑整技巧： 对于接近整数的数，可拆分为整数与小数的和或差，再用分配律简化。例如计算\(99 (-5)^2\)： 原式\(=(100 - 1) 25 = 100 25 - 1 25 = 2500 - 25 = 2475\)。 实际应用问题解析 财务预算问题：某公司一周的收支情况如下（收入为正）：周一收入\(2^4 100\)元，周二支出\((-3)^3 20\)元，周三收入\(5^2 30\)元，周四支出\(|-4^2| 15\)元，周五无收支。求该公司这一周的净利润。 解：各项收支计算如下： 周一：\(16 100 = 1600\)元； 周二：\(-27 20 = -540\)元； 周三：\(25 30 = 750\)元； 周四：\(-16 15 = -240\)元； 净利润：\(1600 - 540 + 750 - 240 = (1600 + 750) - (540 + 240) = 2350 - 780 = 1570\)元。 工 ... ...