5.2.1利用合并同类项解一元一次方程 课件（共31张PPT）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

(课件网) 5.2.1 利用合并同类项解一元一次方程 合并同类项是解一元一次方程的基础步骤，它能将复杂的方程简化为易于求解的形式。通过合并同类项，可将方程中含未知数的项和常数项分别合并，再结合等式的性质求出未知数的值。这一方法体现了 “化繁为简” 的数学思想，是解一元一次方程的核心技能之一。 一、方法原理与适用场景 核心原理： 一元一次方程的各项中，含未知数的项（如\(3x\)、\(-2x\)）是同类项，常数项（如\(5\)、\(-3\)）也是同类项。通过合并同类项，可将方程化为\(ax = b\)（\(a\)、\(b\)为常数，且\(a 0\)）的标准形式，再根据等式的性质 2（两边除以\(a\)）得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。 适用场景： 当方程中存在多个含未知数的项或多个常数项时，需先通过合并同类项简化方程。例如：方程\(3x + 2x - 5 = 10\)中，\(3x\)与\(2x\)是同类项，\(-5\)与\(10\)是常数项，需先合并同类项再求解。 二、解题步骤 利用合并同类项解一元一次方程的步骤可概括为 “合并→化系数为 1”，具体如下： 合并同类项： 将方程中含未知数的同类项合并，常数项合并，使方程化为\(ax = b\)的形式。 合并含未知数的项：根据合并同类项法则，将系数相加，字母和指数不变。例如：\(5x - 3x = (5 - 3)x = 2x\)。 合并常数项：将常数项按有理数加减法则合并。例如：\(-7 + 12 = 5\)。 系数化为 1： 根据等式的性质 2，在方程\(ax = b\)两边同时除以未知数的系数\(a\)（或乘\(\frac{1}{a}\)），得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。 例如：方程\(2x = 6\)两边除以\(2\)，得\(x = 3\)。 三、实例解析 示例 1：解方程\(3x + 2x - 5x = 12 - 6\)。 解： 步骤 1：合并同类项。 左边含未知数的项合并：\(3x + 2x - 5x = (3 + 2 - 5)x = 0x\)， 右边常数项合并：\(12 - 6 = 6\)， 方程化为：\(0x = 6\)。 此时方程左边为\(0\)，右边为\(6\)，\(0 6\)，因此方程无解。 示例 2：解方程\(4x - 2x + 3x = 15 + 3 - 6\)。 解： 步骤 1：合并同类项。 左边：\(4x - 2x + 3x = (4 - 2 + 3)x = 5x\)， 右边：\(15 + 3 - 6 = 12\)， 方程化为：\(5x = 12\)。 步骤 2：系数化为 1。 两边除以\(5\)：\(x = \frac{12}{5}\)（或\(x = 2.4\)）。 因此，方程的解为\(x = \frac{12}{5}\)。 示例 3：解方程\(7 - 2x + 5x = 16 + 2\)。 解： 步骤 1：合并同类项。 左边含未知数的项：\(-2x + 5x = 3x\)，常数项：\(7\)， 左边合并后：\(3x + 7\)， 右边合并：\(16 + 2 = 18\)， 方程化为：\(3x + 7 = 18\)。 步骤 2：消除常数项（等式性质 1）。 两边减\(7\)：\(3x = 11\)。 步骤 3：系数化为 1（等式性质 2）。 两边除以\(3\)：\(x = \frac{11}{3}\)。 因此，方程的解为\(x = \frac{11}{3}\)。 四、典型例题分类解析 不含常数项的方程： 例：解方程\(5x - 3x + x = 0\)。 解：合并同类项得\(3x = 0\)，系数化为 1 得\(x = 0\)。 含多项同类项的方程： 例：解方程\(2x - x + 4x - 7x = 5 - 9 + 2\)。 解：左边合并：\((2 - 1 + 4 - 7)x = (-2)x\)， 右边合并：\(5 - 9 + 2 = -2\)， 方程化为\(-2x = -2\)，系数化为 1 得\(x = 1\)。 需先移项再合并的方程： 例：解方程\(3x + 5 = 2x + 10\)。 解：步骤 1：移项（将含未知数的项移到左边，常数项移到右边）：\(3x - 2x = 10 - 5\)， 步骤 2：合并同类项：\(x = 5\)。 （注：移项的依据是等式的性质 1，移项时需变号，本质是两边同时加或减同一个数或式子） 含括号的方程（先去括号再合并）： 例：解方程\(2(x + 3) + 3x = 19\)。 解：步骤 1：去括号（分配律）：\(2x + 6 + 3x = 19\)， 步骤 2：合并同类项：\(5x + 6 = 19\)， 步骤 3：两边减\(6\) ... ...