1.3 勾股定理的应用 课件（共30张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

(课件网) 1.3 勾股定理的应用 勾股定理作为几何学的核心定理之一，不仅揭示了直角三角形的边际关系，更在现实生活中有着广泛的应用。从建筑施工到航海导航，从日常测量到空间计算，勾股定理都发挥着不可替代的作用。本节将通过具体实例，详细介绍勾股定理在不同场景中的应用方法，帮助你掌握将数学知识转化为解决实际问题的能力。 一、直角三角形的边长计算 勾股定理最直接的应用是已知直角三角形的两条边，求第三条边的长度。这类问题在测量、工程等领域极为常见，解题的关键是明确直角边和斜边的关系，灵活运用公式\(a^2 + b^2 = c^2\)及其变形。 1. 已知两条直角边求斜边 例 1：一个直角三角形的两条直角边分别为 5cm 和 12cm，求斜边的长度。 解：根据勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中\(a = 5\)，\(b = 12\)，则：\(c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\) 因此，\(c = \sqrt{169} = 13\)（cm）。 答：斜边的长度为 13cm。 2. 已知斜边和一条直角边求另一条直角边 例 2：一架梯子靠在墙上，梯子顶端到地面的距离（即一条直角边）为 8m，梯子的长度（斜边）为 10m，求梯子底部到墙的距离。 解：设梯子底部到墙的距离为\(a\)，根据勾股定理变形公式\(a^2 = c^2 - b^2\)，其中\(c = 10\)，\(b = 8\)，则：\(a^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\) 因此，\(a = \sqrt{36} = 6\)（m）。 答：梯子底部到墙的距离为 6m。 3. 非整数边长的计算 例 3：一个直角三角形的一条直角边为\(3\sqrt{2}\)cm，另一条直角边为\(3\sqrt{2}\)cm，求斜边的长度。 解：根据勾股定理：\(c^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 9 2 + 9 2 = 18 + 18 = 36\) 因此，\(c = \sqrt{36} = 6\)（cm）。 答：斜边的长度为 6cm。 二、最短路径问题 在平面或立体图形中求最短路径时，勾股定理常常是关键工具。这类问题的核心是将曲面或折线转化为直角三角形的边，利用 “两点之间线段最短” 的原理，结合勾股定理计算最短距离。 1. 平面图形中的最短路径 例 4：如图，在一个长为 10m、宽为 6m 的长方形草坪中，A、B 分别是长方形的两个对角顶点，求从 A 到 B 的最短路径长度。 解：长方形的长和宽分别为直角三角形的两条直角边，从 A 到 B 的最短路径为长方形的对角线，即直角三角形的斜边。 根据勾股定理：\(AB^2 = 10^2 + 6^2 = 100 + 36 = 136\) 因此，\(AB = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} 11.66\)（m）。 答：从 A 到 B 的最短路径长度约为 11.66m。 2. 立体图形中的最短路径 例 5：如图，有一个圆柱形油罐，底面周长为 12m，高为 5m。一只蚂蚁要从油罐底部的 A 点爬到顶部的 B 点（A、B 在同一母线上），求蚂蚁爬行的最短路径长度。 解：将圆柱侧面沿母线展开为一个长方形，长方形的长为底面周长 12m，宽为圆柱的高 5m。此时，蚂蚁的最短路径为长方形的对角线。 根据勾股定理： 最短路径长度\(l^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\) 因此，\(l = 13\)（m）。 答：蚂蚁爬行的最短路径长度为 13m。 三、航海与方位问题 在航海、航空等领域，勾股定理常用于计算船只或飞机的航行距离、方位角等。解决这类问题需要先根据方向角确定直角三角形的边，再运用勾股定理计算未知量。 1. 直线航行距离计算 例 6：一艘轮船从港口出发，向正东方向行驶了 15km 后，转向正北方向行驶了 20km，此时轮船与港口的直线距离是多少？ 解：轮船的行驶路线构成直角三角形，正东方向的距离和正北方向的距离为两条直角边，轮船与港口的直线距离为斜边。 根据勾股定理： 距离\(d^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\) 因此，\(d = 25\)（km）。 答：轮船与港口的直线距离是 25km。 2. 方位角与距离综合问题 例 7：一艘渔船在海 ... ...