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课件网) 6.1.4 方差的应用 方差作为描述数据离散程度的核心统计量，在实际生活和生产中有着广泛的应用。它能够帮助我们量化数据的稳定性、一致性或波动性，为决策提供科学依据。无论是产品质量控制、教育评价，还是体育训练、金融分析等领域，方差都发挥着重要作用。本节将通过具体实例，深入探讨方差在不同场景中的应用方法和价值。 一、方差在质量控制中的应用 在工业生产中，产品质量的稳定性是衡量生产水平的重要指标，而方差是评估质量稳定性的关键工具。通过计算产品质量指标的方差，可以判断生产过程是否稳定，及时发现异常波动，从而采取措施改进生产。 （一）实例解析：零件尺寸稳定性分析 例 1：某工厂生产一批零件，要求零件的标准尺寸为 50mm。质检员随机抽取了甲、乙两条生产线各 10 个零件，测量其尺寸（单位：mm）如下： 甲生产线：50.1, 50.0, 49.9, 50.0, 50.1, 49.9, 50.0, 50.1, 49.9, 50.0 乙生产线：50.2, 49.8, 50.3, 49.7, 50.1, 49.9, 50.4, 49.6, 50.0, 50.2 通过计算方差判断哪条生产线的零件尺寸更稳定。 解题步骤： 计算甲生产线零件尺寸的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{50.1 + 50.0+49.9 + 50.0+50.1+49.9 + 50.0+50.1+49.9 + 50.0}{10}\)\(=\frac{500.0}{10}=50.0\)mm； 计算甲生产线的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{10}[(50.1 - 50.0)^2+(50.0 - 50.0)^2+\cdots+(50.0 - 50.0)^2]\)\(=\frac{1}{10}[0.01 + 0+0.01 + 0+0.01+0.01 + 0+0.01+0.01 + 0]\)\(=\frac{1}{10} 0.06 = 0.006\)； 计算乙生产线零件尺寸的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{50.2 + 49.8+50.3 + 49.7+50.1+49.9 + 50.4+49.6+50.0 + 50.2}{10}\)\(=\frac{500.0}{10}=50.0\)mm； 计算乙生产线的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{10}[(50.2 - 50.0)^2+(49.8 - 50.0)^2+\cdots+(50.2 - 50.0)^2]\)\(=\frac{1}{10}[0.04 + 0.04+0.09 + 0.09+0.01+0.01 + 0.16+0.16+0 + 0.04]\)\(=\frac{1}{10} 0.64 = 0.064\)； 结论：因为\(s_ ^2=0.006 < s_ ^2=0.064\)，所以甲生产线的零件尺寸更稳定。 应用价值：在质量控制中，方差越小说明产品尺寸与标准值的偏差越稳定，生产过程越可控。工厂可根据方差结果调整乙生产线的设备精度或操作流程，降低尺寸波动。 二、方差在教育评价中的应用 在教育领域，方差可用于分析学生成绩的稳定性、班级整体的学差异等。通过比较不同学生或班级的成绩方差，能更全面地评估学习效果，为教学改进提供方向。 （一）实例解析：学生成绩稳定性比较 例 2：某班两名学生近 5 次数学考试成绩（单位：分）如下： 小明：85, 90, 88, 92, 85 小红：75, 95, 85, 100, 75 计算两人成绩的方差，并分析谁的成绩更稳定，更适合参加数学竞赛。 解题步骤： 计算小明成绩的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{85 + 90+88 + 92+85}{5}=\frac{440}{5}=88\)分； 计算小明成绩的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{5}[(85 - 88)^2+(90 - 88)^2+(88 - 88)^2+(92 - 88)^2+(85 - 88)^2]\)\(=\frac{1}{5}[9 + 4+0 + 16+9]=\frac{1}{5} 38 = 7.6\)； 计算小红成绩的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{75 + 95+85 + 100+75}{5}=\frac{430}{5}=86\)分； 计算小红成绩的方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{5}[(75 - 86)^2+(95 - 86)^2+(85 - 86)^2+(100 - 86)^2+(75 - 86)^2]\)\(=\frac{1}{5}[121 + 81+1 + 196+121]=\frac{1}{5} 520 = 104\)； 结论：小明的成绩方差远小于小红，说明小明的成绩更稳定。数学竞赛对稳定性要求较高，因此小明更适合参加。 应用价值：方差帮助教师识别学生成绩的波动情况，对成绩不稳定的学生可针对性辅导，巩固薄弱 ... ...
