7.2.1平行线的证明-平行线的判定 课件（共28张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

(课件网) 7.2.1 平行线的证明 - 平行线的判定 在平面几何中，平行线是一类特殊的直线关系，其判定是几何证明的重要基础。平行线的判定不仅依赖于直观的观察，更需要通过严谨的逻辑推理来确认。本节将系统梳理平行线的判定公理、判定定理，结合实例展示如何运用这些知识证明两条直线平行，培养几何证明的逻辑思维能力。 一、平行线的定义与判定公理 （一）平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。这个定义揭示了平行线的本质属性 ———�不相交”，但直接利用定义判断两条直线是否平行较为困难（因为无法无限延伸直线验证是否相交），因此需要更具操作性的判定方法。 （二）平行线的判定公理（基本事实） 经过长期实践验证，以下命题被作为平行线判定的公理（基本事实），无需证明即可直接使用： 同位角相等，两直线平行。 即：如果两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，那么这两条直线平行。 如图 1 所示，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，若\(\angle1=\angle2\)（同位角相等），则\(a\parallel b\)。 这一公理是平行线判定的基础，其他判定定理都可由它推导得出。 二、平行线的判定定理 基于同位角相等判定公理，通过逻辑推理可进一步得出其他平行线判定定理。 （一）内错角相等，两直线平行 定理 1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 即：若内错角相等，则两直线平行。 证明过程： 已知：如图 2，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，\(\angle1=\angle2\)（内错角相等）。 求证：\(a\parallel b\)。 证明： ∵\(\angle1=\angle3\)（对顶角相等）， 又∵\(\angle1=\angle2\)（已知）， ∴\(\angle2=\angle3\)（等量代换）。 ∵\(\angle2\)和\(\angle3\)是同位角（同位角定义）， ∴\(a\parallel b\)（同位角相等，两直线平行）。 实例解析： 例 1：如图 3，已知\(\angle1 = 110^\circ\)，\(\angle2 = 110^\circ\)，求证：\(AB\parallel CD\)。 证明： ∵\(\angle1 = 110^\circ\)，\(\angle2 = 110^\circ\)（已知）， ∴\(\angle1=\angle2\)（等量代换）。 ∵\(\angle1\)和\(\angle2\)是内错角（内错角定义）， ∴\(AB\parallel CD\)（内错角相等，两直线平行）。 （二）同旁内角互补，两直线平行 定理 2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 即：若同旁内角互补（和为\(180^\circ\)），则两直线平行。 证明过程： 已知：如图 4，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)（同旁内角互补）。 求证：\(a\parallel b\)。 证明： ∵\(\angle1+\angle3 = 180^\circ\)（平角定义）， 又∵\(\angle1+\angle2 = 180^\circ\)（已知）， ∴\(\angle2=\angle3\)（同角的补角相等）。 ∵\(\angle2\)和\(\angle3\)是同位角（同位角定义）， ∴\(a\parallel b\)（同位角相等，两直线平行）。 实例解析： 例 2：如图 5，已知\(\angle A + \angle D=180^\circ\)，求证：\(AB\parallel CD\)。 证明： ∵\(\angle A + \angle D=180^\circ\)（已知）， 又∵\(\angle A\)和\(\angle D\)是直线\(AB\)、\(CD\)被直线\(AD\)所截形成的同旁内角（同旁内角定义）， ∴\(AB\parallel CD\)（同旁内角互补，两直线平行）。 （三）平行线的其他判定方法 除上述公理和定理外，结合其他几何知识还可得出以下判定方法： 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行公理的推论）。 即：若\(a\parallel c\)，\(b\parallel c\)，则\(a\parallel b\)。这一结论可通过反证法证明（见本节课后作业 3）。 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 即：若\(a\perp c\)，\(b\per ... ...