15.4.4含30°角的直角三角形的性质 课件（共21张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：15.4.4 含 30° 角的直角三角形的性质 副标题：探究特殊直角三角形的边与角关系 教师姓名：[教师姓名] 授课日期：[具体日期] 幻灯片 2：复习回顾与情境引入 复习回顾：前面学习了等腰三角形的性质与判定，以及直角三角形的一些基本特征。直角三角形是一类特殊的三角形，当它的一个锐角为 30° 时，会具有更加特殊的边角关系。本节课将深入探究含 30° 角的直角三角形的独特性质。 情境引入：如图，将两个含 30° 角的全等直角三角尺摆放在一起，使它们的 30° 角顶点重合，较长的直角边重合，观察拼成的图形是什么形状？测量较短直角边与斜边的长度，你发现了什么？通过本节课的学习，我们将揭开含 30° 角的直角三角形的神秘面纱。 学习目标： 理解并掌握含 30° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 能运用该性质解决线段长度计算和几何证明问题。 体会从特殊到一般的探究方法，培养几何推理能力。 幻灯片 3：含 30° 角的直角三角形性质探究 探究活动： 画一个含 30° 角的直角三角形 ABC，其中∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°。 用刻度尺测量 BC（∠A 所对的直角边）和 AB（斜边）的长度。 计算 BC 与 AB 的比值，你发现了什么？ 换一个含 30° 角的直角三角形重复操作，验证你的发现。 实验结论：在含 30° 角的直角三角形中，30° 角所对的直角边的长度是斜边长度的一半。即 BC = AB。 性质表述：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。符号表示：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则 BC = AB。 幻灯片 4：含 30° 角的直角三角形性质的证明 已知与求证： 已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。 求证：BC = AB。 证明思路：通过延长较短的直角边，构造等边三角形，利用等边三角形的性质证明结论。 证明过程：延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD。 ∵∠ACB=90°（已知）， ∴∠ACD=180°-∠ACB=90°（平角定义）。 在△ABC 和△ADC 中， BC=CD（辅助线作法）， ∠ACB=∠ACD（已证）， AC=AC（公共边）， ∴△ABC≌△ADC（SAS）。 ∴AB=AD（全等三角形对应边相等），∠BAD=2∠BAC=2×30°=60°（全等三角形对应角相等）。 ∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）。 ∴AB=BD（等边三角形三边相等）。 ∵BD=BC+CD=BC+BC=2BC， ∴AB=2BC，即 BC = AB。 图示说明：在图形中标注辅助线和全等三角形的对应部分，结合证明过程，让学生直观理解性质的推导过程。 幻灯片 5：含 30° 角的直角三角形性质的应用（一）——— 计算线段长度 例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，求 BC 和 AC 的长度。 分析：根据含 30° 角的直角三角形的性质，BC 是 30° 角所对的直角边，所以 BC = AB，再利用勾股定理求出 AC 的长度。 解答过程：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm， ∴BC = AB = ×10 = 5cm（含 30° 角的直角三角形性质）。 由勾股定理得：AC = √(AB - BC ) = √(10 - 5 ) = √75 = 5√3 cm。 幻灯片 6：含 30° 角的直角三角形性质的应用（二）——— 实际问题应用 例题 2：如图，某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 30°，沿倾斜角为 30° 的斜坡前进 1000m 后到达 D 处，又测得山顶 B 的仰角为 60°，求山的高度 BC。 分析：先根据已知条件判断△BDE 和△ABD 的形状，利用含 30° 角的直角三角形性质求出相关线段长度，进而得到山的高度。 解答过程：过 D 作 DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F。 ∵∠BAD=30°，AD=1000m，∠AED=90°， ∴DE = AD = 500m（30° 角所对直 ... ...