1.3.2利用完全平方公式进行因式分解 课件（共32张PPT）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

(课件网) 1.3.2 利用完全平方公式进行因式分解教学幻灯片分页内容 第 1 页：标题页 标题：1.3.2 利用完全平方公式进行因式分解 副标题：初中数学 [对应年级] 授课教师：[教师姓名] 日期：[授课日期] 第 2 页：复习回顾与引入 回顾整式乘法公式：我们学过完全平方公式的整式乘法形式，即\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的 2 倍。 问题引入：根据因式分解与整式乘法的互逆关系，你能将\(a^2 + 2ab + b^2\)和\(a^2 - 2ab + b^2\)分解因式吗？（由整式乘法公式逆向可得对应的因式分解形式） 引入概念：像这样利用完全平方公式将多项式分解因式的方法，叫做利用完全平方公式进行因式分解。 学习意义：完全平方公式是因式分解的重要方法，能有效分解三项式，为解决复杂代数问题提供支撑。 第 3 页：学习目标 知识目标：理解因式分解中完全平方公式的推导过程；掌握完全平方公式的结构特征和适用条件；能熟练运用完全平方公式对多项式进行因式分解。 能力目标：通过观察多项式结构，培养判断多项式是否适用完全平方公式的能力；在因式分解中，提高代数式变形的准确性和灵活性。 情感目标：体会整式乘法与因式分解的互逆关系，感受数学知识的严谨性，激发对数学公式应用的兴趣。 第 4 页：知识点 1——— 完全平方公式的因式分解形式 公式推导：由整式乘法完全平方公式逆向运用可得： \(a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2\) \(a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2\) 语言描述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 图形解释：结合正方形面积模型，边长为\(a + b\)的正方形面积，可拆分为边长为\(a\)的正方形、边长为\(b\)的正方形以及两个长\(a\)宽\(b\)的长方形面积之和，直观体现公式的几何意义。 公式本质：将特定形式的三项式转化为一个二项式的平方形式。 第 5 页：知识点 2——— 完全平方公式的结构特征 项数特征：多项式是三项式，由三项组成。 平方项特征：有两项是平方形式，且这两项的符号相同（均为正），可表示为\( ^2 + ^2\)（或\( ^2 - ^2\)不适用，平方项必同号）。 中间项特征：第三项是这两个平方项底数乘积的 2 倍（或 - 2 倍），即中间项\(= ±2 \)。 示例分析： 多项式\(x^2 + 6x + 9\)：三项式，\(x^2\)和\(9 = 3^2\)是同号平方项，中间项\(6x = 2 x 3\)，符合特征。 多项式\(4a^2 - 12ab + 9b^2\)：三项式，\((2a)^2\)和\((3b)^2\)同号，中间项\(-12ab=-2 2a 3b\)，符合特征。 多项式\(x^2 + 2x - 1\)：平方项符号不同，不符合；多项式\(x^2 + 4x + 4\)：符合特征。 第 6 页：例题 1——— 判断是否适用完全平方公式 例 1：下列多项式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ） A. \(x^2 + 2x - 1\) B. \(x^2 + xy + y^2\) C. \(4a^2 + 12a + 9\) D. \(a^2 + b^2\) 解析：A 选项平方项符号不同；B 选项中间项不是两底数积的 2 倍；C 选项\(4a^2=(2a)^2\)，\(9=3^2\)，中间项\(12a=2 2a 3\)，符合；D 选项是二项式。答案：C 例 2：指出下列多项式是否为完全平方式，若是，指出公式中的\(a\)和\(b\)。 （1）\(m^2 - 4m + 4\) 是，\(a = m\)，\(b = 2\) （2）\(x^2 + x + \frac{1}{4}\) 是，\(a = x\)，\(b = \frac{1}{2}\) （3）\(2x^2 + 4x + 2\) 是（先提公因式后判断），\(a = x\)，\(b = 1\) （4）\(a^2 + 2ab - b^2\) 否（平方项符号不同） 第 7 页：知识点 3——— 利用完全平方公式分解因式的步骤 步骤详解： 第一步：判断多项式是否符合完全平方公式特征（三项式、两项同号平方项、中间项为两底数积的 ±2 倍） ... ...