5.1.2含30? 角的直角三角形的性质 课件（共36张PPT）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

(课件网) 5.1.2 含 30° 角的直角三角形的性质教学幻灯片分页内容 第 1 页：标题页 标题：5.1.2 含 30° 角的直角三角形的性质 副标题：初中数学 [对应年级] 授课教师：[教师姓名] 日期：[授课日期] 第 2 页：复习引入 复习回顾：前面我们学习了直角三角形的基本概念，知道直角三角形有一个角是 90°，另外两个锐角互余（和为 90°）。还学习了等腰直角三角形的性质，即两条直角边相等，两个锐角都是 45°。 问题提出：如果直角三角形中有一个锐角是 30°，那么这个特殊的直角三角形会具有怎样独特的性质呢？它的边之间存在什么特殊的数量关系？这就是我们今天要探究的内容。 学习意义：掌握含 30° 角的直角三角形的性质，能帮助我们快速解决相关的几何计算和证明问题，在实际生活中如测量、建筑等领域也有广泛应用。 第 3 页：学习目标 知识目标：理解并掌握含 30° 角的直角三角形的性质（30° 角所对的直角边等于斜边的一半）；能运用该性质解决直角三角形中的计算和证明问题。 能力目标：通过动手操作、观察和推理，培养探究能力和逻辑推理能力；能将性质灵活应用于实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。 情感目标：在探究特殊直角三角形性质的过程中，感受数学的严谨性和特殊性，体会数学知识的实用价值，激发学习数学的兴趣。 第 4 页：知识点 1——— 含 30° 角的直角三角形的性质探究 操作实验： 步骤 1：用直尺和圆规作一个等边三角形 ABC（三边相等，三角都是 60°）。 步骤 2：作出等边三角形 ABC 的高 AD，交 BC 于点 D（AD 也是 BC 边上的中线和∠BAC 的平分线）。 步骤 3：观察图形，△ABD 是直角三角形，其中∠BAD=30°，∠ADB=90°，BC=AB，BD=BC÷2=AB÷2。 实验结论：在 Rt△ABD 中，∠BAD=30°，它所对的直角边 BD 等于斜边 AB 的一半。 归纳猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 第 5 页：知识点 2——— 含 30° 角的直角三角形的性质定理 性质表述：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB÷2（或 BC= AB）。 推理证明： 已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。 求证：BC= AB。 证明：延长 BC 至点 D，使 CD=BC，连接 AD。∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°。在△ABC 和△ADC 中，AC=AC（公共边），∠ACB=∠ACD（已证），BC=DC（已作），∴△ABC≌△ADC（SAS）。∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=30°（全等三角形对应边、对应角相等），∴∠BAD=60°，∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形），∴AB=BD。∵BD=BC+CD=2BC，∴AB=2BC，即 BC= AB。 图形演示：展示辅助线作法和全等三角形、等边三角形的关系，标注推理过程中的关键元素。 第 6 页：例题 1——— 应用性质求边长 例 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边 AB=8cm，求 BC 和 AC 的长度。 解析：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°（已知），∴BC= AB（含 30° 角的直角三角形的性质）。∵AB=8cm，∴BC= ×8=4cm。由勾股定理得 AC=√(AB BC )=√(8 4 )=√(64 16)=√48=4√3 cm。 例 2：在 Rt△DEF 中，∠E=90°，∠F=30°，EF=6cm，求斜边 DF 的长度。 解析：∵在 Rt△DEF 中，∠E=90°，∠F=30°，∴∠D=60°。∠F=30° 所对的直角边是 DE，∴DE= DF。由勾股定理得 DE +EF =DF ，设 DE=x，则 DF=2x，∴x +6 =(2x) ，x +36=4x ，3x =36，x =12，x=2√3，∴DF=2x=4√3 cm。（或直接识别∠D=60°，∠D 所对的直角边是 EF，虽不是 30° 角对边，但可通过性质间接计算） 第 7 页：知识点 3——— 性质的逆应 ... ...