2.3 一元二次方程根的判别式 课件（共26张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：2.3 一元二次方程根的判别式 副标题：判别根的情况，深化方程理解 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：复习回顾 一元二次方程的一般形式：\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）。 求根公式：当\(b - 4ac 0\)时，\(x = \frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)。 思考：在求根公式中，根号下的式子\(b - 4ac\)决定了方程是否有实数根以及根的个数，它就是我们今天要学习的根的判别式。 幻灯片 3：根的判别式的定义 定义：对于一元二次方程\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)），我们把\(\Delta = b - 4ac\)叫做一元二次方程根的判别式。 符号表示：通常用希腊字母 “\(\Delta\)”（读作 “德尔塔”）来表示。 注意：判别式只与方程的系数\(a\)、\(b\)、\(c\)有关，与未知数无关。 幻灯片 4：判别式与根的情况的关系 当\(\Delta 0\)时：方程有两个不相等的实数根，即\(x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)，\(x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)。 当\(\Delta = 0\)时：方程有两个相等的实数根，即\(x = x = -\frac{b}{2a}\)。 当\(\Delta 0\)时：方程在实数范围内没有实数根。 总结：一元二次方程根的情况可由判别式的值来判断，“判别式” 因此得名。 幻灯片 5：例题讲解 1 - 判断根的情况 题目：判断下列一元二次方程根的情况 （1）\(x - 5x + 6 = 0\) （2）\(2x - 4x + 2 = 0\) （3）\(3x - 2x + 1 = 0\) 解答 （1）这里\(a = 1\)，\(b = -5\)，\(c = 6\)，\(\Delta = (-5) - 4 1 6 = 25 - 24 = 1 0\)，所以方程有两个不相等的实数根。 （2）这里\(a = 2\)，\(b = -4\)，\(c = 2\)，\(\Delta = (-4) - 4 2 2 = 16 - 16 = 0\)，所以方程有两个相等的实数根。 （3）这里\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = 1\)，\(\Delta = (-2) - 4 3 1 = 4 - 12 = -8 0\)，所以方程无实数根。 幻灯片 6：例题讲解 2 - 根据根的情况求系数范围 题目：已知关于\(x\)的一元二次方程\(x + 2x + k - 1 = 0\)有两个不相等的实数根，求\(k\)的取值范围。 分析：方程有两个不相等的实数根，说明\(\Delta 0\)，由此可列出关于\(k\)的不等式。 解答：这里\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(c = k - 1\)，\(\Delta = 2 - 4 1 (k - 1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k\)。因为方程有两个不相等的实数根，所以\(\Delta 0\)，即\(8 - 4k 0\)，解得\(k 2\)。所以\(k\)的取值范围是\(k 2\)。 幻灯片 7：例题讲解 3 - 根据根的情况求系数值 题目：已知关于\(x\)的一元二次方程\((m - 1)x + 2x + m - 1 = 0\)有一个根为 0，求\(m\)的值及方程的另一个根，并判断方程根的情况。 解答 因为方程有一个根为 0，将\(x = 0\)代入方程得\((m - 1) 0 + 2 0 + m - 1 = 0\)，即\(m - 1 = 0\)，解得\(m = 1\)或\(m = -1\)。 又因为方程是一元二次方程，所以\(m - 1 0\)，即\(m 1\)，所以\(m = -1\)。 当\(m = -1\)时，原方程为\(-2x + 2x = 0\)，化简为\(x - x = 0\)，因式分解得\(x(x - 1) = 0\)，所以另一个根为\(x = 1\)。 此时\(\Delta = 2 - 4 (-2) 0 = 4 0\)（或用化简后方程计算\(\Delta = (-1) - 4 1 0 = 1 0\)），方程有两个不相等的实数根。 幻灯片 8：例题讲解 4 - 综合应用 题目：已知关于\(x\)的方程\(kx - (2k + 1)x + k = 0\)（\(k 0\)）。 （1）求证：方程总有两个实数根。 （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数\(k\)的值。 解答 （1）证明：这里\(a = k\)，\(b = -(2k + 1)\)，\(c = k\)，\(\Delta = [-(2k + 1)] - 4 k k = 4k + 4k + 1 - 4k = 4k + 1\)。因为题目未限定根的情况，但要证明总有两个实数根，需\(\Delta 0\)。但实际上，当\(k = -\frac{1}{4}\)时，\(\Delta = 0\)；当\(k ... ...