3.4.2.2相似三角形对应周长和面积的性质 课件（共31张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：3.4.2.2 相似三角形对应周长和面积的性质 副标题：探究相似三角形周长与面积的比例规律 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：复习回顾 相似三角形的核心性质：对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 思考：相似三角形的周长是各边长度之和，面积与底和高的乘积有关，它们与相似比之间是否存在特定的比例关系？本节课将揭开这个谜底。 幻灯片 3：相似三角形对应周长的性质探究 探究过程：设△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k\)。则\(AB = k ·A'B'\)，\(BC = k ·B'C'\)，\(AC = k ·A'C'\)。 △\(ABC\)的周长\(C_1 = AB + BC + AC = k ·A'B' + k ·B'C' + k ·A'C' = k(A'B' + B'C' + A'C')\)。 △\(A'B'C'\)的周长\(C_2 = A'B' + B'C' + A'C'\)。 因此\(\frac{C_1}{C_2} = \frac{k ·C_2}{C_2} = k\)。 性质结论：相似三角形周长的比等于相似比。 幻灯片 4：相似三角形对应面积的性质探究 探究过程：设△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，\(AD\)和\(A'D'\)分别是对应高，即\(\frac{AD}{A'D'} = k\)。 △\(ABC\)的面积\(S_1 = \frac{1}{2} ·BC ·AD\)。 △\(A'B'C'\)的面积\(S_2 = \frac{1}{2} ·B'C' ·A'D'\)。 则\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} ·BC ·AD}{\frac{1}{2} ·B'C' ·A'D'} = \frac{BC}{B'C'} ·\frac{AD}{A'D'} = k ·k = k \)。 性质结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 幻灯片 5：性质总结 周长性质：相似三角形周长的比等于相似比。若相似比为\(k\)，则周长比为\(k\)。 面积性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方。若相似比为\(k\)，则面积比为\(k \)。 几何语言表述：若△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(k\)，周长分别为\(C_1\)、\(C_2\)，面积分别为\(S_1\)、\(S_2\)，则\(\frac{C_1}{C_2} = k\)，\(\frac{S_1}{S_2} = k \)。 注意：面积比是相似比的平方，而非相似比本身，应用时需特别注意区分。 幻灯片 6：例题讲解 1 - 利用周长性质求周长 题目：已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(3:4\)。若△\(ABC\)的周长为\(27cm\)，求△\(DEF\)的周长。 解答：∵△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(3:4\)，根据相似三角形周长的比等于相似比，可得\(\frac{ ABC ¨é }{ DEF ¨é } = \frac{3}{4}\)。设△\(DEF\)的周长为\(x cm\)，则\(\frac{27}{x} = \frac{3}{4}\)，解得\(x = 36\)。答：△\(DEF\)的周长为\(36cm\)。 幻灯片 7：例题讲解 2 - 利用面积性质求面积 题目：如图，△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(1:2\)。若△\(ABC\)的面积为\(12cm \)，求△\(A'B'C'\)的面积。 解答：∵△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，相似比为\(1:2\)，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得\(\frac{ ABC é § }{ A'B'C' é § } = (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}\)。设△\(A'B'C'\)的面积为\(S cm \)，则\(\frac{12}{S} = \frac{1}{4}\)，解得\(S = 48\)。答：△\(A'B'C'\)的面积为\(48cm \)。 幻灯片 8：例题讲解 3 - 综合应用周长与面积性质 题目：两个相似三角形的周长比为\(2:3\)，其中较大的三角形的面积为\(54cm \)，求较小的三角形的面积。 解答：∵两个三角形相似，周长比为\(2:3\)，∴相似比为\(2:3\)。根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得面积比为\((\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}\)。设较小的三角形的面积为\(S cm \)，则\(\frac{S}{54} = \frac{4}{9}\)，解得\(S = 24\)。答：较小的三角形的面积为\(24cm \)。 幻灯片 9：例题讲解 4 - 结合高的性质求面积 题 ... ...