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课件网) 幻灯片 1：封面 标题：5.1 总体平均数与方差的估计 副标题：用样本特征估计总体特征 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：情境引入 实际问题：某学校想了解全校学生的平均身高，由于学生人数众多，不可能对每个学生都进行测量；某工厂要检测一批零件的尺寸稳定性，也难以对所有零件逐一检测。在这种情况下，如何科学地估计总体的相关特征呢？ 核心思想：当总体容量很大或检测具有破坏性时，通常从总体中抽取一部分个体作为样本，通过计算样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差。 幻灯片 3：基本概念 总体：我们所要考察对象的全体叫做总体。 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。 估计：用样本的某种特征量（如平均数、方差）来推测总体的相应特征量，这种方法叫做统计估计。 幻灯片 4：用样本平均数估计总体平均数 定义：在统计学中，常用样本平均数来估计总体平均数。如果从总体中抽取一个样本，计算样本的平均数\(\bar{x}\)，则可以把\(\bar{x}\)作为总体平均数\(\mu\)的估计值，即\(\hat{\mu} = \bar{x}\)。 样本平均数公式：对于样本数据\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，样本平均数为：\( \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \) 合理性：当样本具有代表性时，样本平均数能较好地反映总体的平均水平，样本容量越大，估计的准确性通常越高。 幻灯片 5：例题讲解 1 - 用样本平均数估计总体平均数 题目：为了解某小区居民的月均用水量，随机抽取了该小区 10 户居民的月用水量（单位：\(t\)）如下：\(10, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24\)。估计该小区居民的月均用水量。 解答步骤： 计算样本平均数：\( \bar{x} = \frac{10 + 13 + 14 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 24}{10} = \frac{178}{10} = 17.8(t) \) 估计总体平均数：用样本平均数\(17.8t\)作为该小区居民月均用水量的估计值。 结论：该小区居民的月均用水量估计为\(17.8t\)。 幻灯片 6：用样本方差估计总体方差 定义：方差是衡量数据波动程度的统计量，常用样本方差来估计总体方差。如果从总体中抽取一个样本，计算样本的方差\(s^2\)，则可以把\(s^2\)作为总体方差\(\sigma^2\)的估计值，即\(\hat{\sigma}^2 = s^2\)。 样本方差公式：对于样本数据\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，样本方差为：\( s^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \) （注：也有教材使用\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)，实际应用中需注意定义方式） 意义：样本方差越大，说明样本数据的波动越大，估计总体数据的波动也越大；反之，波动越小。 幻灯片 7：例题讲解 2 - 用样本方差估计总体方差 题目：沿用例题 1 的数据，计算样本方差，并估计该小区居民月用水量的总体方差。 解答步骤： 已知样本平均数\(\bar{x} = 17.8t\)。 计算样本方差：\( s^2 = \frac{1}{10 - 1}[(10 - 17.8)^2 + (13 - 17.8)^2 + \cdots + (24 - 17.8)^2] \) 具体计算：\( = \frac{1}{9}[( - 7.8)^2 + ( - 4.8)^2 + ( - 3.8)^2 + ( - 0.8)^2 + 0.2^2 + 1.2^2 + 2.2^2 + 3.2^2 + 4.2^2 + 6.2^2] \) \( = \frac{1}{9}[60.84 + 23.04 + 14.44 + 0.64 + 0.04 + 1.44 + 4.84 + 10.24 + 17.64 + 38.44] = \frac{1}{9} 171.6 = 19.07 \) 估计总体方差：用样本方差\(19.07\)作为该小区居民月用水量总体方差的估计值。 结论：该小区居民月用水量的总体方差估计为\(19.07\)。 幻灯片 8：样本的代表性 重要性：用样本估计总体的效果取决于样本的代表性，只有具有代表 ... ...
