2.3.2 用一元二次方程解决面积问题（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册北师大版

(课件网) 2.3.2 用一元二次方程解决面积问题 面积问题是一元二次方程在实际生活中最常见的应用之一，无论是几何图形的面积计算、场地规划还是物体裁剪，都需要通过建立方程模型来求解。这类问题的核心是根据图形的面积公式，结合题目中的数量关系列出一元二次方程，再通过公式法、配方法等解法得出结果，并检验解的合理性。本节将系统讲解用一元二次方程解决面积问题的步骤、常见题型及解题技巧。 一、解决面积问题的基本步骤 用一元二次方程解决面积问题通常遵循以下步骤： （一）分析图形特征 明确题目中涉及的几何图形（如矩形、三角形、正方形、梯形等），熟悉其面积公式。例如： 矩形面积 = 长 × 宽； 正方形面积 = 边长 × 边长； 三角形面积 = \(\frac{1}{2}\)× 底 × 高； 梯形面积 = \(\frac{1}{2}\)×（上底 + 下底）× 高。 （二）设定未知数 根据图形特征和题目要求，设出合适的未知数。通常设与面积直接相关的边长按为未知数（如矩形的长或宽、正方形的边长等），设未知数时需明确单位。 （三）表示相关量 用含未知数的代数式表示图形中其他相关的边长、高或底等，确保各量之间的关系符合题目描述（如 “长比宽多 3 米”“边长增加 x 厘米后” 等）。 （四）建立等量关系 根据图形面积的变化情况（如 “面积为某个值”“面积增加 / 减少了多少”），结合面积公式列出一元二次方程。 （五）解方程并检验 通过公式法、配方法等求解方程，得到未知数的值后，需检验解是否符合实际意义（如边长不能为负、长度不能超过原图形的限制等），最终确定合理的解。 二、常见面积问题题型解析 （一）矩形面积问题 矩形是面积问题中最常见的图形，其长和宽的关系是建立方程的关键。 例 1： 一个矩形的周长为 30 米，面积为 54 平方米，求矩形的长和宽。 解：设矩形的宽为\(x\)米，因为周长为 30 米，所以长为\((15 - x)\)米（矩形周长 = 2×（长 + 宽），故长 + 宽 = 15 米）。 根据矩形面积公式，得：\( x(15 - x) = 54 \) 整理方程：\( x^2 - 15x + 54 = 0 \) 用公式法解方程，其中\(a = 1\)，\(b = -15\)，\(c = 54\)：\( \Delta = (-15)^2 - 4 1 54 = 225 - 216 = 9 > 0 \) \( x = \frac{15 \pm\sqrt{9}}{2} = \frac{15 \pm 3}{2} \) 解得\(x_1 = 9\)，\(x_2 = 6\)。 当宽为 6 米时，长为 15 - 6 = 9 米；当宽为 9 米时，长为 15 - 9 = 6 米（通常长大于宽，故取长 9 米，宽 6 米）。 答：矩形的长为 9 米，宽为 6 米。 例 2： 如图 1，一块长方形铁皮的长为 20 厘米，宽为 15 厘米，从四个角各剪去一个边长为\(x\)厘米的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积为 126 平方厘米，求剪去的正方形的边长。 解：折成的长方体盒子的长为\((20 - 2x)\)厘米，宽为\((15 - 2x)\)厘米，底面积为长 × 宽，得：\( (20 - 2x)(15 - 2x) = 126 \) 展开并整理：\( 300 - 40x - 30x + 4x^2 = 126 \\ 4x^2 - 70x + 174 = 0 \\ 2x^2 - 35x + 87 = 0 \) 用公式法解方程，其中\(a = 2\)，\(b = -35\)，\(c = 87\)：\( \Delta = (-35)^2 - 4 2 87 = 1225 - 696 = 529 > 0 \) \( x = \frac{35 \pm\sqrt{529}}{4} = \frac{35 \pm 23}{4} \) 解得\(x_1 = \frac{35 + 23}{4} = 14.5\)（舍去，因\(15 - 2x = 15 - 29 = -14\)为负数），\(x_2 = \frac{35 - 23}{4} = 3\)。 答：剪去的正方形的边长为 3 厘米。 （二）三角形面积问题 三角形面积问题通常涉及底和高的关系，需注意高与底的对应性。 例 3： 一个直角三角形的斜边长为 13 厘米，两条直角边的和为 17 厘米，求这个直角三角形的面积。 解：设一条直角边为\(x\)厘米，则另一条直角边为\((17 - x)\)厘米，根据勾股 ... ...