24.1 一元二次方程（课件）冀教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：24.1 一元二次方程 副标题：从实际问题到代数模型的转化 背景图：展示与一元二次方程相关的生活场景，如矩形场地面积计算、物体自由下落运动轨迹、增长率问题的图表等，体现方程的实际应用价值。 幻灯片 2：情境引入与问题提出 生活中的数学问题： 情境 1：某学校要建一个面积为 200 平方米的矩形花坛，长比宽多 10 米，求花坛的长和宽。设宽为 x 米，则长为 (x+10) 米，可列方程：x (x+10)=200。 情境 2：某商品原价为 100 元，经过两次降价后售价为 81 元，设平均每次降价的百分率为 x，可列方程：100 (1-x) =81。 情境 3：一个正方形的边长增加 3 厘米后，面积增加了 39 平方厘米，求原正方形的边长。设原边长为 x 厘米，可列方程：(x+3) - x =39。 方程的共同特征：这些问题列出的方程都只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2，引出 “一元二次方程” 的概念。 幻灯片 3：一元二次方程的定义 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 关键词解析： 整式方程：方程两边都是关于未知数的整式（分母不含未知数，根号下不含未知数）。 一元：只含有一个未知数（如 x、y 等）。 二次：未知数的最高次数是 2（即含未知数平方的项，且该项系数不为 0）。 判断示例： 是一元二次方程：x -5x+6=0，2y =3y+1，(x+2)(x-3)=x-1。 不是一元二次方程：x -2x =0（未知数最高次数为 3），x+y =1（含两个未知数），\(\frac{1}{x }\)+x=2（不是整式方程）。 幻灯片 4：一元二次方程的一般形式 一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中： ax 叫做二次项，a 是二次项系数（a≠0，否则方程不是二次方程）。 bx 叫做一次项，b 是一次项系数。 c 叫做常数项。 转化步骤：将一元二次方程通过去括号、移项、合并同类项等变形，化为一般形式。 示例转化： 方程 x (x+1)=3 (x-2)，展开得 x +x=3x-6，移项合并得 x -2x+6=0（其中 a=1，b=-2，c=6）。 方程 2x =5x-3，移项得 2x -5x+3=0（其中 a=2，b=-5，c=3）。 幻灯片 5：例题讲解 1（识别一元二次方程） 题目呈现：下列方程中，哪些是一元二次方程？为什么？ （1）3x +2x-1=0 （2）x +y=5 （3）x +\(\frac{1}{x}\)=2 （4）(x+2)(x-2)=x -1 解答过程： （1）是一元二次方程：只含一个未知数 x，最高次数 2，是整式方程。 （2）不是：含有两个未知数 x 和 y，是二元方程。 （3）不是：分母含未知数 x，不是整式方程。 （4）不是：化简后得 x -4=x -1，即 - 4=-1，不含二次项，是矛盾方程。 幻灯片 6：例题讲解 2（化为一般形式并确定系数） 题目呈现：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）5x =3x （2）(x+2)(x-3)=1 （3）2x (x-1)=x -2 解答过程： （1）移项得 5x -3x=0，一般形式：5x -3x=0。二次项系数 5，一次项系数 - 3，常数项 0。 （2）展开得 x -3x+2x-6=1，合并得 x -x-7=0。一般形式：x -x-7=0。二次项系数 1，一次项系数 - 1，常数项 - 7。 （3）展开得 2x -2x=x -2，移项合并得 x -2x+2=0。一般形式：x -2x+2=0。二次项系数 1，一次项系数 - 2，常数项 2。 幻灯片 7：一元二次方程的解（根）的概念 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 验证方法：将未知数的值代入方程，若左右两边相等，则该值是方程的根。 示例验证： 判断 x=2 是否是方程 x -3x+2=0 的根：代入左边 = 2 -3×2+2=4-6+2=0，右边 = 0，左边 = 右边，故 x=2 是方程的根。 判断 x=1 是否是方程 2x -5x+3=0 的根：代入左边 = 2×1-5×1+3=0， ... ...