26.4.2 与坡度、坡角有关的问题（课件）冀教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 课程标题：26.4.2 与坡度、坡角有关的问题 副标题：探索斜坡中的数学奥秘 教师姓名：[具体姓名] 授课日期：[具体日期] 幻灯片 2：学习目标 清晰理解坡度和坡角的概念，掌握两者之间的关系。 能够将与坡度、坡角相关的实际问题转化为数学模型，运用解直角三角形的知识进行求解。 提升运用数学知识解决工程、建筑等实际生活中斜坡问题的能力。 幻灯片 3：情境引入 展示图片： 图片 1：山坡上的公路。 图片 2：建筑工地上的斜坡。 图片 3：水库大坝的斜坡。 提问引导：在这些场景中，斜坡的倾斜程度各不相同，如何用数学语言来描述斜坡的倾斜程度呢？这就需要学习坡度和坡角的知识。 幻灯片 4：坡度和坡角的概念 坡角：斜坡与水平面的夹角叫做坡角，通常用 α 表示。 图示：绘制一个斜坡图形，标注出坡角 α。 坡度（坡比）：斜坡的垂直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度，通常用 i 表示，即 i = h : l 或 i = h /l。 图示：在同一斜坡图形中，标注出垂直高度 h 和水平宽度 l，明确坡度的表示方式。 坡度与坡角的关系：坡度 i 等于坡角 α 的正切值，即 i = tanα。 说明：坡度越大，坡角 α 越大，斜坡越陡；反之，坡度越小，坡角 α 越小，斜坡越平缓。 幻灯片 5：坡度和坡角应用示例 1 例 1：一段斜坡的坡角为 30°，求这段斜坡的坡度。若这段斜坡的垂直高度为 5m，求斜坡的水平宽度和斜坡长度（结果保留根号）。 分析：已知坡角 α = 30°，根据坡度与坡角的关系可求坡度；再结合垂直高度 h = 5m，利用坡度的定义和勾股定理求水平宽度 l 和斜坡长度。 解答步骤： 坡度 i = tan30° = √3 / 3，即 i = 1 : √3。 因为 i = h /l，所以 l = h /i = 5 / (√3 / 3) = 5√3 m。 斜坡长度 = √(h + l ) = √(5 + (5√3) ) = √(25 + 75) = √100 = 10 m。 结论：这段斜坡的坡度为 1 : √3，水平宽度为 5√3 m，斜坡长度为 10 m。 幻灯片 6：坡度和坡角应用示例 2 例 2：某水库大坝的斜坡坡度为 i = 1 : 2.4，坝高为 10m，求大坝斜坡的坡角 α（精确到 0.1°）和斜坡长度（精确到 0.1m）。 分析：已知坡度 i = 1 : 2.4，即 h : l = 1 : 2.4，坝高 h = 10m，先求出水平宽度 l，再求坡角 α 和斜坡长度。 解答步骤： 由 i = h /l = 1 / 2.4，可得 l = 2.4h = 2.4×10 = 24 m。 tanα = i = 1 / 2.4 ≈ 0.4167，用计算器得 α ≈ 22.6°。 斜坡长度 = √(h + l ) = √(10 + 24 ) = √(100 + 576) = √676 = 26.0 m。 结论：大坝斜坡的坡角约为 22.6°，斜坡长度约为 26.0 m。 幻灯片 7：练习 1（坡度和坡角基础应用） 题目： (1) 一段斜坡的坡度为 1 : √3，求这段斜坡的坡角。若斜坡长度为 20m，求斜坡的垂直高度和水平宽度。 (2) 某斜坡的坡角为 45°，斜坡的水平宽度为 8m，求斜坡的垂直高度和坡度。 答案： (1) 坡角为 30°，垂直高度为 10m，水平宽度为 10√3 m。 (2) 垂直高度为 8m，坡度为 1 : 1。 幻灯片 8：复杂斜坡问题示例 1 例 3：如图，一山坡的坡度为 i = 1 : 2，某人从山脚 A 处沿斜坡向上走了 100m 到达 B 处，求此人上升的高度和水平前进的距离（结果保留根号）。 分析：设上升的高度为 h m，水平前进的距离为 l m，根据坡度 i = h : l = 1 : 2，可得 l = 2h，再结合斜坡长度 AB = 100m，利用勾股定理求解。 解答步骤： 由勾股定理得 h + l = AB ，即 h + (2h) = 100 ，5h = 10000，h = 2000，h = 20√5 m。 l = 2h = 40√5 m。 结论：此人上升的高度为 20√5 m，水平前进的距离为 40√5 m。 幻灯片 9：复杂斜坡问题示例 2 例 4：如图，某建筑工地上有一个两面斜坡的土坡，两面斜坡的坡度分别为 i = 1 : 1 和 i = 1 : √3，斜坡的水 ... ...