第21章　一元二次方程【章末复习】（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册人教版

(课件网) 幻灯片 1：封面 课程名称：第 21 章 一元二次方程 章末复习 授课人：[您的姓名] 授课班级：[具体班级] 日期：[具体日期] 幻灯片 2：复习目标 清晰掌握一元二次方程的基本概念，能准确判断方程是否为一元二次方程。 熟练运用多种解法求解一元二次方程，包括配方法、公式法、因式分解法，并能根据方程特点选择最优解法。 深刻理解一元二次方程根的判别式的意义，会利用判别式判断方程根的情况。 学会运用一元二次方程知识解决各类实际问题，提升分析和解决问题的能力。 幻灯片 3：知识框架 一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，一般形式为\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a≠0\)）。 解法： 配方法：通过配方将方程转化为完全平方形式求解。 公式法：利用求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)求解。 因式分解法：将方程因式分解为两个一次因式的积等于 0 的形式求解。 根的判别式：\(\Delta = b^2 - 4ac\)，用于判断根的情况。 应用：解决实际问题，如增长率问题、面积问题、利润问题等。 幻灯片 4：一元二次方程定义详解 定义关键要素： “一元”：只含有一个未知数。 “二次”：未知数的最高次数是 2。 “整式方程”：方程两边都是整式。 一般形式分析：\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a≠0\)），\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。 强调\(a≠0\)的原因：若\(a = 0\)，方程就变为一次方程\(bx + c = 0\)。 举例判断： 判断方程\(3x^2 - 2x + 1 = 0\)，\(2x(x - 1)=2x^2 + 3\)，\(\frac{1}{x^2}+x = 1\)是否为一元二次方程。 分析：第一个是；第二个化简后为\(-2x - 3 = 0\)，不是；第三个是分式方程，不是。 幻灯片 5：配方法步骤 移项：把常数项移到等号右边，如方程\(x^2 + 6x - 7 = 0\)，移项后得\(x^2 + 6x = 7\)。 配方：在等号两边加上一次项系数一半的平方，\(x^2 + 6x + (\frac{6}{2})^2 = 7 + (\frac{6}{2})^2\)，即\(x^2 + 6x + 9 = 7 + 9\)。 变形为完全平方形式：\((x + 3)^2 = 16\)。 开方求解：\(x + 3 = \pm4\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = -7\)。 幻灯片 6：公式法推导与应用 推导过程：对一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a≠0\)）进行配方，\(ax^2 + bx = -c\)，\(x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)，\(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\)，得到\((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)，开方得\(x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，从而得出求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。 应用示例：解方程\(2x^2 - 5x + 1 = 0\)，其中\(a = 2\)，\(b = -5\)，\(c = 1\)，代入公式\(x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2 - 4×2×1}}{2×2}=\frac{5\pm\sqrt{25 - 8}}{4}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}\)。 幻灯片 7：因式分解法类型与解法 提公因式法：方程\(x^2 - 3x = 0\)，提取公因式\(x\)得\(x(x - 3)=0\)，则\(x = 0\)或\(x - 3 = 0\)，解得\(x_1 = 0\)，\(x_2 = 3\)。 公式法（平方差、完全平方公式）： 平方差：方程\(9x^2 - 25 = 0\)，变形为\((3x)^2 - 5^2 = 0\)，利用平方差公式\((a^2 - b^2)=(a + b)(a - b)\)，得\((3x + 5)(3x - 5)=0\)，解得\(x_1 = -\frac{5}{3}\)，\(x_2 = \frac{5}{3}\)。 完全平方：方程\(x^2 - 4x + 4 = 0\)，变形为\((x - 2)^2 = 0\)，解得\(x_1 = x_2 = 2\)。 十字相乘法：方程\(x^2 + 5x + 6 = 0\)，将二次项系数 1 分解为\(1×1\)，常数项 6 分解为\(2×3\)，交叉相乘再相加得\(1×3 + 1×2 = 5\)（一次项系数），则因式分解为\((x + 2)(x + 3)=0\)，解得\(x_1 = -2\)，\(x_2 ... ...