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课件网) 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 第三章 圆锥曲线的方程 数学 学习目标 ①能熟练掌握抛物线的几何性质--范围、顶点、离心率、对称性等． ②能掌握抛物线的焦点弦长的求法． 学习重难点 重点： 抛物线的简单几何性质，利用抛物线的几何性质求方程，对通径与焦半径公式的初步探究． 难点： 利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究． 其中定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 定义告诉我们： (1)判断抛物线的一种方法 (2)抛物线上任一点的性质：|MF|=d 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. ┑ l F M d H 课堂导入 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点位置 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2=2px (p＞0) y2=-2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2=-2py (p＞0) 2.四种抛物线及其标准方程 x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 问题1：类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 ① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 范围、对称性、顶点、离心率...... l F y x O 范围、对称性、顶点、离心率...... 课堂探究 1.抛物线的简单几何性质： （1）范围 由抛物线 有 所以抛物线的范围为 x y O K F M H l 问题2：那其他的形式的抛物线方程呢？ 课堂探究 关于轴对称 即点也在抛物线上, 故抛物线关于轴对称. 则, 若点在抛物线上,即满足， K F M(x,y) x y O H M′(x,-y) 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. （2）对称性 课堂探究 （3）顶点 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. ∴ 中，令，则. 即抛物线的顶点. x y O K F M H l 课堂探究 （4）离心率 x y O K F M H l 抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离之比 ，叫做抛物线的离心率，用表示． 由抛物线的定义可知，. 课堂探究 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y≤0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 课堂探究 辨析：判断正误. (1)抛物线有一条对称轴为轴.( ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) (4)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线.( ) 【答案】√，√，√，×. 课堂探究 例1 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程. . 问题3：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程. 解：有两条，抛物线的标准方程是或 课堂探究 例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长． 课堂探究 解：方法二：设A(,), B(,), 直线l的方程为抛物线方程，得 x2-6x+1=0 ∴ +=6, =1 =8. (x1, y1) (x2, y2) 课堂探究 例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长． 解：方法三：由题意可知，，，焦点F的坐标为（1，0），准线方程为. 如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB. 由抛物线的定义，可知，， . 因为直线的斜率为1，且过焦点， 所以直线的方程为. ① 将①代入方程，得，化简，得. 所以，.所以，线段AB的长是8. 课堂探究 例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长． 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径公式： (5)焦半径 x l F M y O (x0,y0) 课堂探究 过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦. 焦点弦公式： (6)焦点弦 ... ...
