2025年秋北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用 课件(共15张PPT)+教案+同步练习

勾股定理的应用 知识精讲 勾股定理的应用主要有以下几方面： 已知直角三角形的任意两条边的长度，利用勾股定理求第三边的长度； 作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求非直角三角形的边长或面积； 利用直角三角形三边关系和生活常识，借助方程思想解决实际问题； 有关直角三角形、矩形中的折叠求线段长度的问题，常常利用勾股定理和方程思想解决。 考点分析 勾股定理的应用是近年来中考的考点之一，难度适中，主要考查利用勾股定理求线段的长度、说明边之间的关系等。涉及的题型主要是选择题、填空题、解答题，常与等腰三角形、矩形、解直角三角形等知识点综合进行考查。 名师点睛 勾股定理是直角三角形特有的重要定理，即应用勾股定理的前提条件是 “在直角三角形中”。 利用勾股定理解题时，把要求的线段归结到直角三角形中，若没有直角三角形，可以通过添加辅助线的方法构造出直角三角形，再利用勾股定理解答。 利用勾股定理解题时，要明确直角三角形的直角边和斜边；若未给出，需要进行分类讨论。 典型例题 例 1 在△ABC 中，AB＝10，AC＝2 10，BC 边上的高 AD＝6，则另一边 BC 的长等于（ ）。 A.10 B.8 C.6 或 10 D.8 或 10 解析：本题考查了勾股定理的应用。解题的关键是利用勾股定理，分两种情况对三角形的边长 BC 进行讨论。根据题意， 可得（ 如图 1 和图 2 ） ( AC 2 AD 2 ) ( 2 10 2 6 2 )BC BD CD或BC BD CD ，而CD 2 ， ( AB 2 AD 2 ) ( 10 2 6 2 )BD 漏解而错选 A。 8 ，因此 BC 10 或 6。本题易忽略第二种情况， A A B D C B C D 答案：C 图 1 图 2 例 2 如图 3，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）。 ( 61 )A.13cm B. 2 cm ( 61 ) ( 34 )C. cm D. 2 cm 解析：本题考查了勾股定理的应用。解题的关键是把圆 柱体转化为平面图形，再利用勾股定理求最短路径。根据题 图 3 意，利用轴对称原理（如图 4）可知蚂蚁爬行的最短路径是线段 A B ，它正好是 Rt△ A DB 的斜边，而 A D 为底面周长 的一半， DB 3 9 12 cm ，所以 A B 本题易误认为 A D 10 cm ，错选 B。答案：A 13 cm 。 ( 5 2 12 2 )图 4 例 3 如图 5，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，D 作 AB⊥BD，ED⊥BD，连接 AC，EC。已知 AB＝5，DE＝1，BD＝8，设 CD＝x。 用含 x 的代数式表示 AC＋CE 的长。 点 A，C，E 满足什么条件时，AC＋CE 的 图 5 值最小？最小值是多少？ ( x 2 4 ) ( (12 x ) 2 9 )根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值。 分析：本题考查了勾股定理的应用。解题关键是：化折为直，构造直角三角形，利用勾股定理求出 AC＋CE 的最小值。 解：（1）因为 CD＝x，所以 BC＝8－x。 ( AB 2 BC 2 ) ( 25 (8 x ) 2 )由勾股定理，得 AC＝ ， ( CD 2 DE 2 )CE＝ x 2 1 ， ( 25 (8 x ) 2 ) ( x 2 1 )所以 AC＋CE＝ 。 当 A，C，E 三点在同一直线时，AC＋CE 最小。 ( 6 2 8 2 )如图 6，过点 E 作 EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，则 BF＝DE＝1，FE＝BD＝8， AF＝6。 ( AF 2 EF 2 )在 Rt△AFE 中，AE＝ 即 AC＋CE 的最小值为 10。 ( B C D )A 10 ， F E 图 6 当 A，C，E 三点在同一直线时，AC＋CE 最小。根据（2）中的规律和结论构造图 7， 设 AB＝3，DE＝2，BD＝12，CD＝x， ( x 2 4 ) ( (12 x ) 2 9 )所以CE ， AC 。 ( C )A B D F E 图 7 ( 5 2 12 2 )如图 7，过点 E 作 EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，则 BF＝DE＝2，FE＝BD＝12，AF＝5，。 ( AF 2 EF 2 )在 Rt△AFE 中，AE＝ 即 AC＋CE 的最小值为 13。 13 ， ( x 2 4 ) ( (12 x ) 2 9 )所以 的最小值 ... ...