1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 夯基础 题型 1 直线的方向向量的概念及应用 1.(多选)如图，在正方体 ABCD-A B C D 中,E为棱CC 上不与C ，C重合的任意一点，则能作为直线AA 的方向向量的是( ) 2.已知直线l过点A(3,2,1),B(2,2,2),且a=(2,0,x)是直线l的一个方向向量，则x= . 题型2平面的法向量的概念及求法 3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC 的一个单位法向量是 ( ) 4.已知平面α内有一点A(2，-1，2)，平面α的一个法向量为 则下列四个点在平面α内的是( ) A. P (1,-1,1) 5.已知向量m=(2,1,0)与n=(a ,a,b)是平面α的两个法向量，则a+b= . 6.在空间直角坐标系中,点 P(0,0,1)为平面ABC 外一点,其中A(1,1,0),B(0,2,3).若平面ABC 的一个法向量为n=(1,m,1),则m= . 7.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A B C D 中,点 M 在棱 C C 上,且CM=2MC .以D 为原点,DA,DC,DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面ABB A 的一个法向量; (2)求平面MBD 的一个法向量. 题型3利用空间向量解决空间中直线、平面的平行问题 8.设直线l ，l 的方向向量分别为(a=(2,m,-4),b=(-1,4,2).若l ∥l ,则实数m= . 9.已知平面α的一个法向量为n=(2,-1,0),直线l的一个方向向量为m=(t,-4,t+1),且l∥平面α，则l= . 10.已知平面α的法向量为μ=(1,-1,t),平面β的法向量为v=(-2,2,6).若α∥β,则实数t= . 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中,E,F 分别为棱BC,CD 的中点.求证:D F∥平面A EC . 题型4转化与化归思想在空间向量与立体几何中的应用 12.如图，圆锥的顶点为 P，底面圆心为O，AB，CD 为两条互相垂直的直径，Q是底面圆周上的动点(异于A，B),且C,Q 在直径AB 的两侧.已知PO=OB=1. (1)若 求证:PQ⊥AC. (2)若在线段 PQ 上存在点 T(异于 P,Q),使得BT∥平面 PAC,求∠QOB 的取值范围. 题型5利用空间向量解决空间中直线、平面的垂直问题 13.已知直线l ,l 的方向向量分别为(a=(1,m,-1),b=(-2,1,1).若l ⊥l ,则m= ( ) A.1 B.2 C.0 D.3 14.直线l的一个方向向量为(4，2，3)，平面α的一个法向量为(2,1,t).若l⊥α,则实数t= ( ) A.3/2 B.1 C.-2 15.平面α的法向量u=(1,2,-1),平面β的法向量 2,8).若α⊥β,则λ的值是 ( ) A.2 B.-2 C.±2 D.不存在 16.如图，在正方体ABCD-A B C D 中,E,F分别是 BB ,CD的中点,求证:D F⊥平面ADE. 题型6方程思想在空间向量与立体几何中的应用 17 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面 ABCD,且 MD=NB=1,E 为 BC 的中点. (1)证明:MN∥平面ABCD. (2)在线段AN上是否存在点 S，使得ES⊥平面AMN 如果存在，求出线段AS 的长度；若不存在，请说明理由. 18.平面α的法向量为m，若向量 则直线AB 与平面α的位置关系为 . 19.给出下列命题，其中是真命题的是 ( ) A.若直线l的方向向量a=(1,-1,2),直线m的方向向量 则l与m平行 B.若直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥α C.若平面α，β的法向量分别为 则α⊥β D.若平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1 20.如图，在正方体ABCD-A B C D 中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB 的中点，F为A D 的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是 ( ) A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2) C.(2,-2,1) D.(1,2,-2) 21.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB= ,AF=1,点M在EF 上,且CM⊥平面BDE,则点 M 的坐标为 D.(1,1,1) 22.(多选)如图,在长方体ABCD-A B C D 中,AB= 点P 是线段A C上的动点，则下列结论正确的是 ( ) A.当 时,B,P,D 三点共线 B.当 时， C.当 时,D P∥平面BDC D.当 时,A C⊥平面D AP 23.已知边长为1的正方体.ABCD-A B C D ,M 为 BC 的中点,N 为 ... ...