苏教版高中数学选修3-4 4.4.3变换群.

课件19张PPT。§ 4.4.3 变换群1、运动：不改变任意两点之间距离的变换. 2、对称图形（轴对称、中心对称、旋转对称) 旧知回顾为什么地砖通常做成正方形，而不是菱形？1.运动与对称性恒等变换e叫做平凡运动，除e而外的运动叫非平凡运动. 如果某几何图形在一个变换f下所得到的图形和原图形完全重合，就是这个图形容许变换f. 容许非平凡运动的图形叫对称图形. 正方形比菱形具有更多的对称性.菱形只有两条对称轴，而正方形有四条对称轴. 所谓“具有更多的对称性”，就是容许更多的运动.2.封闭性如图的四边形ABCD中，AB=BC,AD=DC,这样的四边形叫筝形. 什么适合反映筝形的全部对称性？ 连续作多次轴对称，都与原来重合，作偶数次的话，都变为它自己. 两个相同轴对称变换f的积是恒等变换，任意筝形不但容许变换f，还容许变换e.只要有f就有e. 用f和e可以能组成各种乘积，列举如下： e2=e,ef=f,fe=f,f2=e. 这些乘积，不是e就是f，没有新的变换. 把单独一个变换f组成的集合记为S，由f,e组成的集合记为G， 则S={f},G={f,e}. 集合G中，f，e的逆变换仍为f,e，都备齐了. 结论：集合G适合于用来反映筝形ABCD的全部对称性.3.变换群满足下面条件的变换集合G叫做变换群. (1)封闭性—G中任意两个变换的乘积仍在G中； (2)结合律—G中任意三个变换的连乘积满足结合律； (3)恒等变换—G中包含恒等变换e； (4)逆变换—G包含其中每个变换的逆变换. 显然，由f和e组成的集合G是常见的变换群，用G2表示.它只含有2个元素，是有限群. 所有运动的集合也是变换群，叫运动群.它包含无限多个元素，是无限群.G2是运动群的部分. 有限群的乘法规则可列成表格，叫乘法表. 变换群G2的乘法表如下： 从一个变换群G中取出一部分元素组成集合H，如果H也是变换群，那么H叫G的子群，G叫做H的扩群. 举例：G2是运动群的子群，运动群是G2的扩群.4.筝形的对称群 筝形ABCD容许轴对称变换f和恒等变换e，它们组成变换群C2.变换群C2叫做筝形的对称群，组成C2的变换e和f叫做筝形的两个对称变换.应用：有些装饰图案具有对称群C2,只需画出一半，就能得出另一半(如图). 一般地，任一几何图形容许的所有运动组成一个变换群，叫做这个图形的对称群.5.菱形的对称群 如图，菱形ABCD，对角线交点为O. 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形.用f和g分别表示菱形容许的两个轴对称变换(f的对称轴是BD，g的对称轴是AC),h表示中心对称，e表示恒等变换，那么e,f,g,h是菱形ABCD容许的全部变换. 这些变换组成菱形的对称群G4.乘法表如下： 四个变换的逆变换都是它自己. 在G4的元素中，e和f组成筝形的对称群C2，e和g也组成一个变换群C2.应用： 以G4为对称群的装饰图案，只需先画好1/4,然后利用轴对称变换f和g，就能得到其余部分（如下图）.6.正方形的对称群 如图正方形ABCD，对角线为O. 正方形是轴对称图形，有四条对称轴：对角线a，c，两双对比中点的连线b,d.关于直线a,b,c,d的对称变换仍记为a,b,c,d. 正方形又是旋转对称图形，容许绕中心O旋转90o，180o，270o.用e表示恒等变换，f,g,h分别表示绕O旋转90o，180o，270o. 经过以上8个变换后，图形都与原图形重合，只是顶点位置有变化，如下图所示.正方形内的小写字母表示所用变换的名称.写着f，说明是经过变换f（逆时针旋转90o）；写着e,说明是经过恒等变换...... 正三角形的对称群记为D3，正五边形的对称群记为D5,正方形的对称群记为D4... 在D4的8个元素中，e和a组成变换群C2，e,a,c,g组成变换群G4，可见C2 、G4是D4的子群，D4是C2 、G4的扩群. 图形越特殊，对称性越丰富，它的对称群中包含的变换也越多. 正方形是特殊的菱形，菱形又是特殊的筝形.菱形的对称群G4是筝形的对称群C2的扩群，正方形的对称群D4是菱形的对称群G4的扩群. 应用： 画以D4为对称群 ... ...