苏教版高中数学选修3-4 4.6.4代数中的对称和群.

课件14张PPT。§ 4.6.4 代数中的对称和群 不但几何图形具有对称性，代数式也可具有对称性！ 图形的对称性，表现为容许某些全等变换，而代数式的对称性，则表现容许这个代数式中所含字母的某些置换.1.置换及其乘法 由n个元素组成的集合S到它自己的一个一一映射，称为S上的一个置换，又称为n元置换. 考虑一个关于体育竞赛的例子. 有四位运动员参加体操全能比赛，他们的服装颜色分别是红、黄、蓝、绿. 第一轮自由体操比赛结束后，按积分排名，名次是：1红，2蓝，3黄，4绿. 第二轮跳马比赛结束后，累计积分排名是：1蓝，2红，3绿，4黄. 第三轮单杠比赛结束后，累计积分排名变成：1红，2绿，3蓝，4黄. 从第一轮排名到第二轮排名的变化，是一个 名次的置换（1 2，2 1，3 4，4 3.把这个置换记为a，那么它可用记号表示为： 从第二轮排名到第三轮排名的变化，是名次的又一个置换（1 3，2 1，3 2，4 4），把这个置换记为b，那么它可用记号表示为： 从第一轮排名到第三轮排名的变化，也是一个名次置换（1 1，2 3，3 4，4 2），把这个置换记为c，那么 在这个排名榜一变再变的例子里，置换c是由置换a和b合成的， 即置换c是置换a与置换b的乘积.2.置换群 由一些置换组成的集合，如果对于置换的乘法成为一个群，就叫做置换群. 例如，设有两个字母x1和x2，考虑作用在它们上面的置换. 第一个可能的置换是恒等置换，记为e， 第二个可能的置换是对换（x1和x2交换位置），记为f. 利用置换记号，可简记为： 置换e和f是两个字母所能构成的全部置换，它们组成一个群，叫做2阶对称群，记为S2, 类似地，三个字母所能 构成的全部置换组成一个群，叫做3阶对称群，记为S3， 一般地，n个字母所能构成的全部置换组成一个群，叫做n阶对称群，记为Sn.例1 正四面体的对称群 正四面体ABCD的全部对称变换，共有24个，这些变换组成一个变换群，叫做正四面体的对称群. 我们曾用(BC)表示一个面反射，它使两点B和C交换位置，其余各点不变.用(BC)(AD)表示一个绕对棱中点连线的旋转变换，它使点B与点C换位，同时 A与D换位，用(ABC)表示一个绕高线的旋转变换.它使三点A,B,C顺次轮换位置.用(ABCD)表示一个复合变换，它使四点A,B,C,D顺次轮换位置. 这些记号，其实都是关于置换的简写记号，它们与常用记号的关系如下： 由此可见，正四面体的每个对称变换，可归结为顶点字母集合{A,B,C,D}上的一个置换.正四面体的全部24个对称变换，归结为集合{A,B,C,D}上的全部24个置换，其中任意两个变换的乘积，归结为两个对应置换的乘积.这24个几何变换组成的变换群，归结为24个相应置换组成的置换群. 于是得到结论： 正四面体的对称群，其实就是4个字母的 全部置换组成的群，即4阶对称群S4. 3.代数式的对称 几何图形的对称，是形状的对称. 代数式的对称，则是形式的对称.举例考虑一元二次方程x2+ax+b=0. 设它的两个根是x1和x2，那么由根与系数的关系得到 x1+x2=-a, ① x1x2=b ② 在①中，将字母x1和x2交换位置，等式的形式保持不变，这就表明，①式关于x1和x2是对称的. 同样理由，②式关于x1和x2是对称的. 由此可见，①式和②式都容许字母x1和x2的对换f. ①式和②式也容许恒等置换e(x1和x2保持不变). 我们知道，置换e和f组成2阶对称群S2. 所以 ①式和②式容许群S2. 从这个例子还能看出，对于一元二次方程，可以通过考虑对称性，采用某种方式，将这方程与一个置换群联系起来. 在历史上，正是为了攻克方程难关，产生了群理论，并且由此导致高次方程解问题的彻底解决.谢谢指导！ ... ...