上海市川沙中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题（含答案）

川沙中学2025-2026学年第一学期高一年级数学月考 2025.10 一、填空题（本大题共有12题，每题3分） 1．已知集合，，则_____． 2．全集为，，，则_____． 3．集合，，则_____． 4．满足的集合的个数为_____个． 5．已知集合，，且，则集合_____． 6．写出命题“存在，使”的否定：_____． 7．已知命题中：，都有，命题乙：，则乙是甲的_____条件． 8．若集合的没有真子集，则实数_____． 9．已知命题为“若，则”，若为真命题，则实数的取值范围是_____． 10．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____． 11．设，为正实数，若，则的最大值是_____． 12．已知，，若，则的取值范围为____． 二、选择题（本大题共有4题，每题3分，每小题有且只有一个选项是正确的） 13．若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 14．已知，下列选项中正确的选项为（ ） A． B． C． D． 15．若存在，使，则的范围为（ ） A． B． C． D． 16．以某些整数为元素的集合具有以下性质：（1）中元素有正数，也有负数； （2）中元素既有奇数，也有偶数；（3）；（4）若，，则． 则下列选项哪个是正确的（ ） A．集合中一定有0但没有2 B．集合中一定有0可能有2 C．集合中可能有0可能有2 D．集合中既没有0又没有2 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，，，，求证：，中至少有一个小于． 18．已知全集，集合，． （1）求，求：的值 （2）若是的充分非必要条件，求：的取值范围． 19．已知集合，集合，命题：“”，命题：． 20．已知函数 （1）求不等式的解集； （2）是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21．已知，集合，对于，，定义与之间的距离为：． （1）对任意的，，请写出可能的值（不必证明）； （2）设，且中有4个元素，记中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； （3）对，，定义：．求证：对任意的，，，； 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.任意，都有; 7.充分非必要; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 二、选择题 13.C 14.D 15.D 16.A 16．以某些整数为元素的集合具有以下性质：（1）中元素有正数，也有负数； （2）中元素既有奇数，也有偶数；（3）；（4）若，，则． 则下列选项哪个是正确的（ ） A．集合中一定有0但没有2 B．集合中一定有0可能有2 C．集合中可能有0可能有2 D．集合中既没有0又没有2 【答案】A 【解析】由（4）得，则（是正整数）， 由（1）可设，且，则、，而， 假设，则，由上面及（4）得均在中，故是正整数），不妨令中负数为奇数（为正整数）， 由（4）得，矛盾， 故若，则中没有负奇数，若中负数为偶数，设为（为正整数）， 则由（4）及，得均在中，即（为非负整数）， 则中正奇数为2，由（4）得，矛盾， 综上，．故选：． 三、解答题 17.（1） （2）证明略 18.（1） （2） 19.（1） （2） 20．【答案】（1）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 （2）存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立。 （3）实数的取值范围是 21．已知，集合，对于，，定义与之间的距离为：． （1）对任意的，，请写出可能的值（不必证明）； （2）设，且中有4个元素，记中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； （3）对，，定义：．求证：对任意的，，，； 【答案】（1）可能的值为0，1，2共3个值； （2） （3）证明见解析 【解析】（1）由题意得，，， 则由已知定义可知，可能的值为0，1，2共3个值； （2）设，4个元素中第1个位置共个1，个0，下面对的可能取值进行讨论： 当时，， 当时，；当时，；当时，；当时， ... ...