7.1.1 数系的扩充和复数的概念 教学设计

《数系的扩充和复数的概念》教学设计 1 教材分析 教材从求解一元二次方程入手,引出数系的扩充,并进一步介绍复数的相关概念. 本节内容不仅是对已有数系的一次扩充,还为后续学习《复数的几何意义》和《复数的四则运算》奠定了基础,具有承前启后的作用,同时也是本章的重点内容.但是教材中关于数学史的内容仅提到了虚数单位是由数学家欧拉引入的,取自的词头,未能充分展现复数产生的历史背景，数学家的探索过程以及数学符号的抽象化演变. 2 学情分析 高一阶段的学生求知欲强烈,抽象思维能力和逻辑推理能力正在快速发展,具备一定的观察、分析和解决数学问题的能力.在知识储备方面,他们已经完成了从自然数集到实数集的认知建构,同时能够熟练求解一元二次方程的实数解,这为数系的扩充和复数的引入提供了认知基础.但需要关注的是,他们可能缺乏从历史发展的角度理解数系的扩充过程,同时对负数开平方问题和复数的表示形式存在理解障碍.由于学生对数学史普遍抱有浓厚兴趣,教师可结合复数的发展历程,帮助学生突破认知难点. 3 课标分析 《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》对本节课的要求是:学生应通过方程求解来认识复数,理解引入复数的必要性,了解数系的扩充.同时,学生还需掌握复数的代数表示,理解两个复数相等的含义.此外,它建议教师可以适当融入数学文化,使学生体会数系扩充过程中理性思维的作用.特别地,数学史作为数学文化的重要载体,教师通过呈现数系扩充和复数发展过程的数学史,学生能够感受人类突破认知局限的创造性思维过程,这对培养学生的数学学科核心素养具有独特意义. 4 教学目标 (1)知识目标:理解数系扩充的历史背景和复数的产生必要性,掌握复数的概念,能够准确区分复数的实部和虚部,并能根据定义对复数进行分类以及总结复数相等的条件. (2)能力目标:通过归纳复数概念、分类及其相等条件,增强数学语言表达能力. (3)素养目标:通过探讨数系扩充的原则,经历复数概念、分类及其相等条件的探索过程,培养逻辑推理、数学抽象和数学运算素养. (4)情感目标:通过了解复数的发展史及其在社会生活中的应用,拓宽数学视野,感受数学与社会生活的密切联系. (5)思政目标:结合复数发展的曲折历程,培养迎难而上、追求真理的精神以及辩证思维能力;通过了解复数对现代科技的贡献,增强科技报国的使命感与社会责任感. 5 教学重难点 教学重点是教师通过引导学生经历数系的扩充过程和复数的发展过程,帮助学生掌握复数的概念,理解复数的分类及其相等的含义. 教学难点是学生通过小组合作讨论数系扩充的原则,在此基础上探究复数的概念. 6 教学方法 为有效突破本节课的教学重难点,教学将按照历史脉络展开.首先从丢番图、卡丹等数学家对虚数的质疑切入,接着引导学生分析邦贝利对虚数的探讨过程,继而讲解笛卡尔正式提出“虚数”和欧拉引入虚数单位关键贡献.在此基础上,通过讲解数系的扩充过程,引导学生讨论数系扩充的规律、复数的概念、复数相等的含义及其分类,然后针对教学重难点设计变式训练.最后介绍复数在社会生活中的应用. 7 教学过程 7.1 引入概念:以数学史为引,创设问题情境 师:展示问题情境1:在公元1世纪,希腊数学家海伦在《立体测量学》中讨论了“平顶金字塔不可能问题”:已知一个正棱台的下底面是边长为的正方形,上底面是边长为的正方形,从上到下的侧棱长度是,则可以求出这个正棱台的高. . 由学生计算:当,,时,的值. 生:,但是根号下的数应. 师:但是海伦在书中记录的结果是,我们无法确定他是故意忽略了这个奇怪的结果,还是只是记录错了.后来,许多数学家都遇到了负数开平方根的情况. 展示问题情境2:在公元3世纪,古希腊数学家丢番图在其著作《算术》求解一元二次方程时,认为该方程无解.提出问题:大家认同丢番图的想法吗 生:认同,因为该一元二次 ... ...