2.2.1 二次函数y＝±x^2的图象与性质 课件(共31张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：2.1 二次函数 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：包含抛物线（如喷泉水流、拱桥轮廓）与函数图像的示意图 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式，能识别二次函数。 能力目标：能根据实际问题列出二次函数表达式，提升数学建模与分析能力。 素养目标：感受二次函数在生活中的广泛应用，培养抽象概括与数形结合思想。 第 3 页：情境导入 生活中的二次函数 情境 1：喷水问题 一个喷水池的水流呈抛物线状，水流高度 h（单位：m）与水平距离 x（单位：m）的关系为 h = -x + 2x + 1，这个关系式有什么特点？ 情境 2：面积问题 用长为 20m 的篱笆围一个矩形菜园，设矩形的一边长为 x m，面积为 y m ，试写出 y 与 x 的关系式（y = x (10 - x) = -x + 10x）。 情境 3：利润问题 某商品每件成本 10 元，售价 x 元时，每天销量为 (20 - x) 件，总利润 y 元与售价 x 的关系式为 y = (x - 10)(20 - x) = -x + 30x - 200。 思考：上述三个关系式有哪些共同特征？ 第 4 页：核心概念 二次函数的定义 定义：一般地，形如y = ax + bx + c（a、b、c 是常数，a ≠ 0） 的函数，叫做二次函数。 关键点解读： 自变量：x 是自变量，取值范围通常为全体实数（实际问题需结合题意限定）。 二次项系数：a ≠ 0（若 a = 0，函数变为 y = bx + c，是一次函数或常数函数，不再是二次函数）。 项的组成： 二次项：ax （次数为 2，是函数的核心项）； 一次项：bx（次数为 1，b 可以为 0，此时函数为 y = ax + c）； 常数项：c（次数为 0，c 可以为 0，此时函数为 y = ax + bx）。 最简形式：当 b = 0 且 c = 0 时，二次函数可简化为 y = ax （如 y = 2x 、y = -3x ）。 第 5 页：二次函数的一般形式与辨析 一般形式：y = ax + bx + c（a ≠ 0），其中 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数、常数项。 实例辨析（判断下列函数是否为二次函数，若是，指出 a、b、c）： y = 3x + 2x - 1 → 是二次函数，a = 3，b = 2，c = -1。 y = 2x - 5 → 不是，无二次项（a = 0），是一次函数。 y = x + √2x → 是二次函数，a = 1，b = √2，c = 0。 y = -x → 是二次函数，a = -1，b = 0，c = 0。 y = (x + 1) - x → 化简为 y = 2x + 1，不是二次函数（a = 0）。 总结：判断二次函数需先化简表达式，再看是否满足 “含二次项且二次项系数不为 0”。 第 6 页：典例精讲 列二次函数表达式 例题 1：几何图形类 已知一个直角三角形的一条直角边长为 x cm，另一条直角边长比它大 2 cm，设斜边长为 y cm，试写出 y 与 x 的函数表达式（不要求化简）。 解答：由勾股定理得 y = x + (x + 2) ，即 y = √[x + (x + 2) ]（x > 0，因边长为正）。 注意：虽含二次项，但因是无理函数，不属于二次函数，需强调二次函数的表达式为整式。 例题 2：实际应用类 某工厂要制作一个无盖的长方体铁盒，底面是边长为 x cm 的正方形，高为 5 cm，设铁盒的表面积为 y cm ，求 y 与 x 的函数表达式。 解答：表面积 = 底面积 + 4 个侧面积，即 y = x + 4×(x×5) = x + 20x（x > 0）。 验证：表达式为 y = x + 20x，a = 1 ≠ 0，是二次函数。 第 7 页：二次函数自变量的取值范围 基本原则： 解析式有意义：若函数表达式含分母，分母不为 0；含二次根式，被开方数非负（但二次函数本身是整式，仅需考虑实际意义）。 实际问题有意义：结合具体情境，自变量需满足 “非负性”“合理性”（如长度、面积、数量为正）。 实例分析： 情境 2 中 “矩形菜园面积 y 与边长 x”：x > 0 且 10 - x > 0，即 0 < x < 10。 情境 3 中 “商品利润 y 与售 ... ...