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课件网) 第 1 页：封面页 标题：2.2.5 二次函数 y=ax +bx+c 的图象与性质 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：标注二次函数 y=ax +bx+c 图象（抛物线）的顶点、对称轴、与坐标轴交点，旁注 a、b、c 参数，直观体现参数与图象的关联 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解二次函数一般式 y=ax +bx+c（a≠0）中 a、b、c 对图象的影响，掌握通过配方法将一般式化为顶点式的技巧，熟练归纳该函数的图象特征与性质。 能力目标：能从一般式直接分析函数的开口、对称轴、顶点、最值及增减性，提升图象分析与代数转化能力，能解决与一般式相关的实际问题。 素养目标：构建二次函数 “一般式” 与 “顶点式” 的知识桥梁，深化数形结合思想，培养逻辑推理与综合应用能力，为二次函数的后续学习夯实基础。 第 3 页：回顾衔接 从顶点式到一般式 回顾：上节课学习的顶点式 y=a (x-h) +k 中，h=-b/(2a)、k=(4ac-b )/(4a)，这意味着一般式 y=ax +bx+c 可通过配方法转化为顶点式，两者本质是同一函数的不同表达形式。 思考：直接观察一般式 y=ax +bx+c，能否快速判断图象的开口方向？而对称轴、顶点坐标等特征，又该如何通过一般式中的 a、b、c 直接计算？ 第 4 页：参数影响 a、b、c 对图象的作用 1. 二次项系数 a 的影响（与顶点式一致）： 开口方向：a>0 时，抛物线开口向上；a<0 时，开口向下。 开口大小：|a | 越大，抛物线开口越小；|a | 越小，开口越大。 例：y=2x +3x-1（a=2>0，开口向上，开口小）；y=-1/2x +2x+5（a=-1/2<0，开口向下，开口大）。 2. 一次项系数 b 的影响（与 a 共同决定对称轴）： 对称轴公式：x=-b/(2a)（由顶点式 h=-b/(2a) 推导而来）。 规律：当 a>0 时，b 与 a 同号（ab>0），对称轴在 y 轴左侧（x<0）；b 与 a 异号（ab<0），对称轴在 y 轴右侧（x>0）；b=0 时，对称轴为 y 轴（x=0）。 例：y=x +4x+3（a=1>0，b=4>0，ab>0，对称轴 x=-4/(2×1)=-2<0，在左侧）；y=2x -6x+1（a=2>0，b=-6<0，ab<0，对称轴 x=6/(2×2)=1.5>0，在右侧）。 3. 常数项 c 的影响（决定抛物线与 y 轴的交点）： 抛物线与 y 轴交点坐标为 (0,c)（令 x=0，得 y=c）。 例：y=3x +2x-5（c=-5，与 y 轴交于 (0,-5)）；y=-x +4（c=4，与 y 轴交于 (0,4)）。 第 5 页：图象特征 从一般式分析核心性质 核心分析步骤（以 y=ax +bx+c，a≠0 为例）： 定开口：根据 a 的符号（正向上，负向下）与 | a|（定开口大小）。 求对称轴：代入公式 x=-b/(2a) 计算。 找顶点坐标： 方法一：先求对称轴 x=-b/(2a)，再将其代入一般式，计算对应的 y 值（即 k=(4ac-b )/(4a)），顶点为 (-b/(2a)，(4ac-b )/(4a))。 方法二：通过配方法将一般式化为顶点式，直接提取顶点 (h,k)。 判最值：a>0 时，顶点为最低点，y 有最小值 k=(4ac-b )/(4a)；a<0 时，顶点为最高点，y 有最大值 k=(4ac-b )/(4a)。 析增减性：以对称轴 x=-b/(2a) 为界，分左右两段判断： a>0：x<-b/(2a) 时，y 随 x 增大而减小；x>-b/(2a) 时，y 随 x 增大而增大。 a<0：x<-b/(2a) 时，y 随 x 增大而增大；x>-b/(2a) 时，y 随 x 增大而减小。 示例：分析 y=-2x +4x+1 的图象特征： 开口：a=-2<0，开口向下，开口小。 对称轴：x=-4/(2×(-2))=1。 顶点：x=1 时，y=-2×1 +4×1+1=3，顶点为 (1,3)。 最值：a<0，y 有最大值 3。 增减性：x<1 时，y 随 x 增大而增大；x>1 时，y 随 x 增大而减小。 第 6 页：配方法 一般式与顶点式的转化（复习巩固） 转化步骤（以 y=ax +bx+c 为例）： 提取二次项系数 a：y=a (x +(b/a) x)+c； 配方（补 “(b/(2a)) - (b/(2a)) ”）：y=a [(x +(b/a) x+(b/(2a)) ) - (b/(2a)) ]+c ... ...
