2.4.1图形面积的最大值 课件(共37张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：2.4.1 图形面积的最大值 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：左侧展示 “定周长矩形” 面积随边长变化的动态抛物线示意图，右侧标注 “顶点即最大值点”，直观关联几何图形与二次函数 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：掌握将图形面积问题转化为二次函数模型的方法，能利用二次函数顶点坐标求图形面积的最大值，理解自变量取值范围对最值的影响。 能力目标：通过分析几何图形的边长关系，提升数学建模能力；熟练运用顶点式或顶点坐标公式求最值，强化代数运算与几何分析的结合能力。 素养目标：体会 “实际问题 — 数学模型 — 求解应用” 的转化过程，深化数形结合与函数思想，培养用数学知识解决几何优化问题的意识。 第 3 页：回顾衔接 从函数到面积最值 知识回顾： 二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）中，当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点为最高点，此时函数有最大值，最大值为顶点纵坐标 k=(4ac-b )/(4a)。 顶点式 y=a (x-h) +k（a<0）中，最大值直接为 k，对应 x=h 时取得。 思考引入：用一根长 20cm 的铁丝围成矩形，如何围能使矩形面积最大？这个问题中，面积与边长存在函数关系吗？能否用二次函数求最大值？ 第 4 页：核心模型 定周长矩形的面积最大值 问题情境：用长为 30m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的面积能达到多少平方米？最大面积是多少？ 建模步骤： 设变量：设矩形的一边长为 x m（自变量），则邻边长为 (30÷2 - x)=(15 - x) m，面积为 S m （因变量）。 列函数关系式：根据矩形面积公式 S = 长 × 宽，得 S=x (15 - x)= -x + 15x。 定自变量范围：边长为正数，故 x>0 且 15 - x>0，即 00，PB=4 - x（x<4）或 x - 4（x>4），当 x<4 时，S=(3/2)(4 - x)= - (3/2) x + 6（一次函数，无最大值）；当 x>4 时，S=(3/2)(x - 4)= (3/2) x - 6（一次函数，无最大值）。 调整条件求最值：若限定点 P 在抛物线 y=-x + 2x + 3 上，求△APB 的面积最大值。 设 P (x, -x + 2x + 3)，底边 AB 长度 = 5，高为 P 到直线 AB 的距离。 直线 AB 解析式：3x + 4y - 12=0，距离 d=|3x + 4 (-x + 2x + 3) - 12|/5=| -4x + 11x |/5。 S=(1/2)×5×| -4x + 11x |/5=| -4x + 11x |/2，当 - 4x + 11x>0 时，S=(-4x + 11x)/2=-2x + (11/2) x。 顶点横坐标 x=11/8，此时 S 最大值 =(4×(-2)×0 - (121/4))/(4×(-2))=121/32。 第 6 页：拓展模型二 靠墙围矩形的面积最大值 问题情境：用长为 24m 的篱笆，一面靠墙围成一个矩形养鸡场（墙长 10m），怎样围能使养鸡场面积最大？ 建模步骤： 设变量：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (24 - 2x) m，面积为 S m 。 列函数关系式：S=x(24 - 2x)= -2x + 24x。 定自变量范围：平行于墙的边长≤墙长 10m，且边长 > 0，故 24 - 2x≤10 且 24 - ... ...