3.2 圆的对称性 课件(共32张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：3.2 圆的对称性 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：左侧为圆沿直径对折后完全重合的示意图（体现轴对称），右侧为圆绕圆心旋转 180° 后重合的示意图（体现中心对称），中间标注 “垂径定理” 核心条件与结论 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：深化理解圆的轴对称性与中心对称性，掌握垂径定理及其推论的内容，明确定理的适用条件与结论之间的逻辑关系。 能力目标：能运用垂径定理解决 “求弦长、圆心距、半径” 等几何计算问题，通过定理证明培养逻辑推理能力，提升几何图形分析能力。 素养目标：体会 “从对称性推导定理” 的数学思想，感受几何定理的严谨性，培养用数学语言规范表达推理过程的习惯。 第 3 页：回顾衔接 圆的对称性再认识 回顾旧知： 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线（直径所在直线）都是对称轴，有无数条对称轴； 圆是中心对称图形，圆心是对称中心，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转对称性）。 思考引入：若将圆的轴对称性与 “弦” 结合，过圆心的直线垂直于弦时，会产生哪些特殊的数量关系？比如：过圆心的直线垂直于弦，是否会平分这条弦？是否会平分弦所对的弧？ 第 4 页：核心定理 垂径定理（探究与证明） 1. 定理探究（动手操作） 操作步骤： 画一个⊙O，在圆上取一条弦 AB（非直径）； 过圆心 O 作直线 CD⊥AB，垂足为 E； 沿直线 CD 对折⊙O，观察点 A 与点 B、弧 AC 与弧 BC、弧 AD 与弧 BD 的位置关系。 观察现象：点 A 与点 B 重合，弧 AC 与弧 BC 重合，弧 AD 与弧 BD 重合。 2. 垂径定理内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言（结合图示）： 已知⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E，则： ① AE = BE（平分弦）； ② ⌒AC = ⌒BC（平分弦所对的劣弧）； ③ ⌒AD = ⌒BD（平分弦所对的优弧）。 3. 定理证明（逻辑推理） 已知：如图，⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E。 求证：AE=BE，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。 证明： 连接 OA、OB，∵ OA=OB（同圆半径相等），∴ △OAB 是等腰三角形； 又∵ CD⊥AB，∴ AE=BE（等腰三角形三线合一）； 沿 CD 对折，点 A 与点 B 重合，故⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合，即⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。 4. 关键提醒 定理中的 “直径” 可推广为 “过圆心的直线”（因直径是过圆心的特殊直线）； 若弦为 “直径”，过圆心的直线垂直于直径时，仍满足平分，但此时 “平分直径” 是必然结果，无特殊意义，故定理常针对 “非直径的弦” 讨论。 第 5 页：重要推论 垂径定理的逆用 1. 推论 1（平分弦的直径） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言： 已知⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦（非直径），AE=BE，则： ① CD⊥AB；② ⌒AC=⌒BC；③ ⌒AD=⌒BD。 易错提醒：必须强调 “弦不是直径”，若弦是直径，平分直径的直线不一定垂直于直径（如任意两条相交的直径，互相平分但不一定垂直）。 2. 推论 2（概括总结） 对于一个圆和一条直线，若直线满足以下五个条件中的任意两个，必满足其余三个（“知二推三”）： ① 过圆心；② 垂直于弦；③ 平分弦（非直径）；④ 平分弦所对的劣弧；⑤ 平分弦所对的优弧。 示例：若直线过圆心且平分弦所对的劣弧，则直线必垂直于弦且平分弦、平分弦所对的优弧。 第 6 页：典例精讲 垂径定理的应用（计算类） 例题 1：求弦长 已知⊙O 的半径为 5cm，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，求弦 AB 的长。 解答步骤： 过 O 作 OE⊥AB 于 E，由垂径定理得 AE=BE（E 为 AB 中点）； 在 Rt△OAE 中，OA=5cm（半径），OE=3cm（圆心距）； 由勾股 ... ...