中小学教育资源及组卷应用平台 2.3.3点到直线的距离 教学设计 一、教学目标 1.数学抽象与直观想象：通过观察、操作，抽象出点到直线距离的定义，能结合图形直观理解距离的几何意义，建立“形”与“数”的关联。 2.逻辑推理与数学运算：经历推导距离公式的过程，提升逻辑推理能力；熟练掌握公式，能代入坐标精准计算，强化运算求解能力。 3.数学建模与核心价值：能用距离公式解决实际问题，构建数学模型；体会转化思想，培养严谨思维与应用数学的意识。 二、教学重难点 1.教学重点：点到直线距离公式的推导过程与记忆，运用公式计算点到直线的距离及解决相关综合问题。 2.教学难点：理解公式推导中“垂直”条件的转化，灵活运用公式解决含参数的距离问题及直线平行、垂直相关的综合应用。 三、教学过程 （一）情境导入，引发认知冲突 生活情境：在平面直角坐标系中，学校操场边缘有一条直线跑道l：3x+4y-12=0（单位：米），一名学生站在点P(2,1)处，他想快速跑到跑道上，最短距离是多少？ 旧知关联：引导学生回顾“点到直线的距离”的几何定义———过该点作直线的垂线，点与垂足之间的线段长度。同时回顾两点间距离公式、两条直线垂直的斜率关系（若直线l 斜率为k ，l 斜率为k ，l ⊥l 则k k =-1）。 认知冲突：学生能说出几何定义，但如何用代数方法计算这个距离？引发学生思考，从而引出本节课主题———点到直线的距离。 （二）探究新知，推导公式 1.特殊情况：点在坐标轴上或直线平行于坐标轴 （1）问题1：求点P(0,0)到直线l：x+2y-4=0的距离。 引导分析：先求过P且与l垂直的直线方程，l的斜率为-1/2，故垂线斜率为2，垂线方程为y=2x。联立l与垂线方程，解得垂足Q(4/5,8/5)，再用两点间距离公式得PQ=√[(4/5-0) +(8/5-0) ]=√[(16+64)/25]=√(80/25)=4√5/5。 （2）问题2：求点P(2,3)到直线l：x=5的距离。 引导分析：直线x=5垂直于x轴，点到直线的距离为横坐标差的绝对值，即|5-2|=3，此为特殊情况的简便计算。 （3）总结：特殊情况可通过“求垂足+两点距离”计算，但过程较繁琐，需推导一般情况的通用公式。 2.一般情况：点到直线距离公式推导 已知点P (x ,y )，直线l：Ax+By+C=0（A、B不同时为0），求P 到l的距离d。 推导思路一：“垂足法”（代数法） ①当B≠0时，直线l的斜率为-A/B，故过P 且与l垂直的直线l 斜率为B/A，方程为y-y =(B/A)(x-x )，整理为Bx-Ay+(Ay -Bx )=0； ②联立l与l 的方程，解方程组，通过加减消元法解得垂足Q的坐标：x=(B x -ABy -AC)/(A +B )，y=(A y -ABx -BC)/(A +B )； ③用两点间距离公式计算P Q，化简后得d=|Ax +By +C|/√(A +B )。 推导思路二：“面积法”（几何法） ①在直线l上取两点A(x ,y )、B(x ,y )，构成三角形P AB，P 到l的距离d是三角形的高； ②计算AB的长度：AB=√[(x -x ) +(y -y ) ]，由直线方程得A(x -x )+B(y -y )=0，即(y -y )=-A/B(x -x )（B≠0），代入得AB=√[(x -x ) +(A /B )(x -x ) ]=|x -x |√(A +B )/|B|； ③计算三角形面积：用向量叉积或坐标公式得S=1/2|(x -x )(y -y )-(y -y )(x -x )|，结合Ax +By +C=0化简，最终得S=1/2|Ax +By +C|； ④由S=1/2×AB×d，代入AB和S的表达式，化简得d=|Ax +By +C|/√(A +B )，与代数法结果一致。 公式总结：点P (x ,y )到直线l：Ax+By+C=0的距离公式为。 公式说明：①A、B不同时为0，保证分母有意义；②分子为绝对值，确保距离为非负数；③直线方程需化为一般式才能代入公式。 即时验证：用公式解决导入问题 导入问题中P(2,1)，直线l：3x+4y-12=0，代入公式得d=|3×2+4×1-12|/√(3 +4 )=|6+4-12|/5=|-2|/5=2/5，快速得出最短距离为2/5米，验证公式便捷性。 （三）例题讲解，巩固应用 例题1：直接运用公式计算距离 求下列点到 ... ...
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