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课件网) 第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 第2课时 角平分线性质的应用 1.进一步理解角的平分线的性质及逆定理，并熟练利用它们 解决与角平分线相关的数学问题. 2.掌握三角形的内心的性质. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 2.叙述角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 O C B 1 A 2 P D E 说一说：如图，在△ABC中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边上的点，若 BE = CF，S△BDE=S△CDF，则点 D 在∠BAC的平分线上吗 由于S△BDE=S△CDF，BE = CF，所以点 D 到 BE，CF 的距离相等，因而点 D 在 ∠BAC 的平分线上. 思考：如图，已知 EF⊥CD 于点 E ，EF⊥AB 于点 F ，MN ⊥ AC 于 点 N ，M 是 EF 的中点.需要添加一个什么条件，就可使 CM ，AM 分别为∠ACD 和 ∠CAB 的平分线呢 CM为∠ACD的平分线 分析： 根据条件需MN=EM AM为∠CAB的平分线 根据条件需MN=FM 已知EM=FM 需要添加一个什么条件 MN=EM MN=FM 若添加条件MN=FM呢？ ①若添加MN=EM 因为ME⊥CD，MNLAC,MN=ME, 所以点M在∠ACD的平分线上， 即CM是∠ACD的平分线. 又M是EF的中点，则MF=ME=MN. 同理可证AM是∠CAB的平分线. 例1 如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系. 分析： BE+PF 必须把BE、PF转化到一条线段上或一个三角形中 根据题意可以将PF转化成PE BE、PE、PB是一个三角形的三边 解: 因为AP是∠CAD的平分线， 又PE⊥DB，PF⊥AC， 所以PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB, 因此BE+PF>PB. 例1 如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系. 做一做: 任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等. A B C 思考: 如何才能在△内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？ A B C P N M D E F 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 根据题意可知点P在∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分线上 找点P，只要画△ABC中任意两个内角的角平分线 在△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交于点P 这个点P为什么到三边的距离相等呢？ A B C P N M D E F 证明：过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F. 因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC， 所以PD=PE. 因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC, 所以PD=PF. 故PD=PE=PF， 因此P为所求作的点. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.（三角形内心的性质） 针对练习：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4， M E N A B C P O D 12 (1) 点 O 到 △ABC 三边的距离和为 . 练一练 解：连接 OC， (2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 1.应用角平分线的判定与性质： 判定角平分线 距离问题 条件 要点归纳 S=Ch 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 1.如图，已知是 的角平分线，，分别是 和 的高，，，则点到 直线 的距离为 _. 2.如图，在中， ，，是的平分线， 设 ，的面积分别为，，则 ( ) A A. B. C. D. 3.如图，点是 的内角平分线的交点，，， ，，则 等于( ) A A.2 B.3 C.1 D.4 4.如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证:AB=AD+BE. M 因为 AC平分∠BAD，AD⊥DE，CM⊥AB 在Rt△ACD和Rt△ACM中，因 ... ...
