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课件网) 第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理 1.探究并理解角平分线的性质定理. 2.探究并理解角平分线性质定理的逆定理. 3.能初步运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的推理与证明. 1.角平分线的定义 O B C A 1 2 从角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 如图，射线OC是∠AOB的平分线. 2.右图中能表示点P到直线l的距离的是 . 线段PC的长 3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的 距离的是 . A A P P l1 l2 l1 l2 图1 图2 图1 P l A B C D P A B C D 探究： 在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，作 PD ⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E. 比较线段 PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 猜想：PD = PE 你能证明它吗 C P ∟ E A O B ∟ D PD=PE △PDO≌△PEO 分析： ∠PDO=∠PEO=90°,∠DOP=∠EOP,OP=OP, A O B P D E C 证明：因为PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中, ∠PDO=∠PEO, ∠DOP=∠EOP, OP=OP, 所以△PDO≌△PEO(角角边). 因此PD=PE. C P ∟ E A O B ∟ D 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A O B P D E C 要点归纳 因为 ∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB， 所以 PD = PE. (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 几何语言： 注意：证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏. O C B 1 A 2 P D E 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 逆命题:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 说一说：角平分线性质定理的的逆命题是什么 是真命题吗？ A O B P D E C O E B A D P 分析：只要画射线OP，证明OP平分∠ AOB即可. C ∟ ∟ 已知：如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，若PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 逆命题:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 证明：过点O，P作射线OC. 因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP=OP, PD=PE, 所以Rt△PDO≌Rt△PEO(斜边、直角边)， 从而∠AOC=∠BOC. O E B A D P C ∟ ∟ 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： 定理的作用：判断点是否在角平分线上. （1）位置关系：点在角的内部. （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. A O B P D E C 要点归纳 几何语言： 因为PD=PE，PD ⊥OA ，PE ⊥OB 所以∠1= ∠2. 即点P∠AOB的平分线OC上. 三个理由，必须写全 O C B 1 A 2 P D E 例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证: (1)点B在∠ADC的平分线上; (2)BD平分∠ABC. 分析： 点B在∠ADC的平分线上 根据条件只需证明AB=BC 已知∠1=∠2 BD平分∠ABC. ∠ABD=∠CBD Rt△BAD≌Rt△BCD 证明： (1)在△ABC中， 因为∠1=∠2，所以BA=BC. 又BA⊥AD，BC⊥CD， 所以点B在∠ADC的平分线上 (2) 在Rt△BAD和Rt△BCD中， BA=BC, BD=BD, 所以Rt△BAD≌Rt△BCD(斜边、直角边). 因此∠ABD=∠CBD，从而BD平分∠ABC. 1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( ) A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD B 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( ) A．4 B．3 C．2 D．1 C 3.已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距离相等，那么点M( ) A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上 C．在∠AB ... ...
