5.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用 课件(共18张PPT) 2025-2026学年湘教版（2024）初中数学八年级上册

(课件网) 第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用 1.探索并掌握含30°角的直角三角形的性质. 2.掌握“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30 .” 3.能利用“有一个角为30°的直角三角形的性质与逆命题”解决实际问题. 1.直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述. Rt ABC中，∠C=90°，D是AB的中点 D C B A ∠A+ ∠B=90° 2.一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形； (3)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形. CD=AD=BD = AB 想一想：在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系 （测量身边的三角板看看） 发现：短直角边=斜边 猜想：30°的锐角所对直角边的长度等于斜边的一半. 你能证明吗 证明:在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点D，连接CD. 根据直角三角形的性质定理得，CD=AB=BD， 于是△DBC是等腰三角形. 由于∠ACB=90°，∠A=30°， 因此∠B=60°. 于是△DBC是等边三角形， 因此BC=BD=AB. 猜想：30°的锐角所对直角边的长度等于斜边的一半. 你可以运用轴对称知识进行证明吗 试一试. A B C D 如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形， 因此 AB = AD， ∠BAD = 2×30° = 60°， 从而 △ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD， 可得 BC = CD =BD =AB. 运用轴对称知识进行证明： 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 在Rt△ABC 中， 因为∠C=90°，∠A=30°，　　 所以BC=AB．　　 要点归纳 A B C ) 30° 例1 在 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1.732) 分析：如图，取轮船航向所在的直线为 OB .过点 A 作 AD⊥OB ，垂足为D. AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离，若 AD 大于 20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 解：如图，取轮船航向所在的直线为OB.过点 A 作AD⊥OB，垂足为 D，连接 AO. 在 Rt△AOD中，AO = 30海里，∠AOD =3 0°， 于是 AD = AO = ×30=15 ≈25.98 (海里). 因为 AD ≈25.98 > 20， 所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险. (方法一) 解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD. 因为CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， 所以CD =AB = BD = BC， 即△BDC 为等边三角形． 所以∠B = 60°. 因为∠B +∠A = 90°， 所以∠A = 30°. 例2 如图，在 Rt△ABC 中，如果 BC =AB，求证∠A = 30° . D (方法二)如图，延长 BC 到 F，使 CF = BC，连接 AF 所以 BF = AB， 因此 BF = AB =AF，即△ABF 是等边三角形. 所以∠B = 60°， 因此∠CAB=90°-∠B = 30°. 因为 ∠BCA = 90°，BC = CF， 所以 AC 垂直平分 BF，于是 AB = AF (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 又 BC = AB，BC = CF = BF， 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°. 几何语言： 因为在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，　 A B C BC =AB．　　 ) 30° 所以∠A = 30° 要点归纳 1. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6 米 B．9 米 C．12 米 D．15 米 B 2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 . A B C D 1 3. 在 △ ... ...