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课件网) 第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质和判定 1. 掌握直角三角形两个锐角互余的性质. 2.会利用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形. 3.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质. 直角三角形 有一个角为90° 一般三角形 直角边 直角边 斜边 想一想：直角三角形的定义是什么？ 说一说1：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度 你能说说理由吗？ 30° + 60° = 90° 45° + 45° = 90° 一般的直角三角形 是否也满足呢？ 说一说2：如图，在直角 △ABC 中， ∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？由此，能得出直角三角形的什么性质？ 在直角△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = 180°，因为 ∠C = 90°，故∠A + ∠B = 90°. A B C 直角三角形的两个锐角互余． 几何语言： 在 Rt△ABC 中， 因为∠C = 90°， 所以∠A +∠B = 90°． 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC ． 要点归纳 议一议： (1)“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么 (2)该逆命题是真命题吗 逆命题：“有两个角互余的三角形是直角三角形”. 真命题 证明 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°, 求证：△ABC是直角三角形. A B C 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°, 求证：△ABC是直角三角形. A B C 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 由此，你得出什么结论？ 直角三角形的判定方法1：有两个角互余的三角形是直角三角形. 观察与思考：如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB 的中点 D，连接 DC .以点 D 为圆心， DB 为半径画圆弧，则所画的弧经过点 C 吗？DC 与 AB 之间有怎样的数量关系？ 可以发现，该弧经过点C DC=DB DC=DB=DA=AB DB=DA=AB 你能证明吗？ 证明： 过点 D 作 DE∥BC，DF∥AC，分别交 AC，BC 于点 E，F， 在 △ADE 与 △DBF 中， ∠AED =∠DFB， ∠ADE =∠B， AD = DB， 所以∠ADE≌△DBF(角角边)， E F 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线. 于是∠ADE =∠B，∠AED =∠ACB = 90°， ∠FDC =∠ECD，∠DFB =∠ACB = 90°. 从而 DE = BF. ① 在 △DFC 与△CED 中， ∠DFC = ∠CED， ∠FDC = ∠ECD， DC = CD， 所以△DFC≌∠CED(角角边)， 从而 CF＝DE . ② 由 ① 式和 ② 式得，CF = BF. 因此，直线 DF 是线段 BC 的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB. 因此 DC = DB = AB E F 直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 上的中点， 所以有 CD = AD = BD = AB. 要点归纳 例1 如图，已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC 是直角三角形. △ABC是直角三角形. 分析： ∠A+∠B=90° ∠A=∠1 ∠B=∠2 ∠A+∠B+∠1+∠2=180° CD=DB CD=DB 例1 如图，已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC 是直角三角形. 证明： 所以 ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B. 因为∠A +∠B +∠ACB = 180°， 因为∠A +∠B = 90°. 所以△ABC 是直角三角形. 因为 CD = AB = AD = BD， 从而 2(∠A +∠B) = 180°. 所以∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°， ∠ACB = ∠1 + ∠2， 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且CD=AB. 则△ABC 是直角三角形. 图形语言转化 为文字语言 可用于判定 直角三角形 1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的 ... ...
