4.2 等差数列 题型01 等差数列的通项 6 题型02 等差数列的判断 7 题型03 等差数列的性质 10 题型04 等差数列的前n项和 11 题型05 等差数列前n项和的性质 13 题型06 等差数列前n项和的最值 15 知识点1：等差数列的概念 1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列． 2．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 知识点2： 等差中项 1．由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列． 2．A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b． 知识点3： 等差数列的通项 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d． 2．an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)． 3．an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． 4．d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 知识点4： 等差数列的性质 1．若{an}，{bn}是等差数列，则{c＋an}、{c·an}、{an＋an＋k}、{pan＋qbn}也为等差数列． 2．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq． 3．若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap． 知识点5： 等差数列的前n项和公式 1．Sn． 2．Sn＝na1n（n﹣1）． 知识点6： 等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝． 4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝． 知识点7： 等差数列前n项和的最值 1．当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n由不等式组确定． 2．当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n由不等式组确定． 3．若d≠0，则从二次函数的角度看，当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值． 1．等差数列的判断． (1)定义法: an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) {an}是等差数列． (2)等差中项法: 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列． (3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列． 2．等差数列通项公式的求解． (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． (3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数． 3．等差中项． (1)若a，A，b成等差数列，则A＝． (2)由A＝也可得到a，A，b成等差数列． (3) A是a，b的等差中项 A＝． 4．等差数列的求解． (1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar． (3)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (4)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． 5．等差数列前n项和的求解． (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． (3)设而不求，整体 ... ...
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