人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.3 第3课时 抛物线的简单几何性质(课件+学案)（含答案）

第3课时　抛物线的简单几何性质(2) 学习 目标 1．理解直线和抛物线的位置关系，会根据图形和方程组的解的组数判断直线和抛物线的位置关系． 2．掌握直线和抛物线相交弦的长和中点弦问题的解决方法． 新知初探基础落实 一、 概念表述： 1．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． ①若k≠0，当Δ 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ 时，直线与抛物线相离，无交点． ②若k＝0，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线 ． 因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的 条件． 2．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为x＝m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．显然，当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点；当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 直线x＝－6与抛物线y2＝6x一定相交．(　 　) (2) 直线x＝－6与抛物线x2＝－8y一定相交．(　 　) (3) 若一条直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定相切．(　 　) (4) 抛物线y2＝8x与直线x－y＝0有两个交点．(　 　) 典例精讲能力初成 探究1　直线与抛物线的位置关系 例1　设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围． 探究2　抛物线的中点弦问题 例2　已知抛物线C：y2＝4x，过点P(1，1)的直线交抛物线C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为 ． 抛物线中点弦问题中直线方程的两种求法 (1) 点差法：设两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．若x1≠x2，将两个交点的坐标分别代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式写出直线方程． (2) 传统法：设出直线方程，并将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，求出斜率，进而可写出直线方程． 变式2　已知直线l与抛物线C：y＝2x2相交于A，B两点，若线段AB的中点的坐标为(1，4)，则直线l的方程为(　 　) A．4x－y＝0 B．2x－y＝0 C．8x－y－6＝0 D．x－2y＋3＝0 探究3　弦长问题 例3　若抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，求抛物线的方程． 直线与抛物线相交弦长的求解思路： (1) 设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；当直线的斜率k＝0，且抛物线的对称轴是y轴时，弦长|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率不存在，且抛物线的对称轴是x轴时，弦长|AB|＝|y1－y2|． (2) 焦点弦是特殊的弦，除了可以利用以上方法求解，还可以利用抛物线的定义将问题转化为焦半径问题来处理． 随堂内化及时评价 1．(多选)已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线截得的弦长为4，则抛物线C的方程为(　 　) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝2y D．x2＝－2y 2．(多选)已知直线l：x＝my＋(2m＋1)，抛物线C：x2＝4y，则下列结论正确的是(　 　) A．直线l过定点(－2，1) B．当m＝－1时，直线l与抛物线C相切 C．当－1＜m＜时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，m＜－1或m＞ 3．如图所示是一座抛物线形拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的对称轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．当水位下降，水面的宽为6 m时，拱顶到水面的距离为 ． (第3题) 4．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且＝2，则△AOB的面积是 ... ...