2.3.4两平行直线间的距离 教学设计 一、核心素养目标 1.直观想象与数学抽象：借图形感知平行直线距离的几何本质，抽象出“转化为点到直线距离”的核心思想，建立几何直观与概念的联系。 2.逻辑推理与数学运算：推导距离公式时深化逻辑思维，熟练运用公式计算，掌握“取点—代入”的关键步骤，提升运算准确性。 3.数学建模与应用意识：用公式解决实际问题，体会转化思想的价值，培养用数学知识解决问题的意识与严谨态度。 二、教学重难点 1.教学重点：两平行直线间距离公式的推导过程与记忆，运用公式计算两平行直线间的距离及解决相关综合问题。 2.教学难点：理解公式推导的“转化”本质，掌握“直线方程化为同系数一般式”的前提条件，灵活运用公式解决含参数的平行直线距离问题。 三、教学过程 （一）复习旧知，情境导入 旧知回顾： （1）提问：点到直线的距离公式是什么？已知点P(2,1)和直线l：3x+4y-12=0，如何计算P到l的距离？（学生回答公式并计算，教师板书公式：，计算结果为） （2）提问：如何判断两条直线是否平行？（学生回答：一般式中，或斜率存在时斜率相等且截距不等） 情境导入：在平面直角坐标系中，两条平行的直线跑道l ：3x+4y-12=0和l ：3x+4y+8=0，求两条跑道之间的距离。这个距离在几何上指什么？如何用已学知识计算？引发学生思考，引出本节课主题———两平行直线间的距离。 （二）探究新知，推导公式 1.两平行直线间距离的几何定义 提问：两条平行直线没有交点，它们之间的距离如何定义？引导学生结合点到直线距离的定义，得出：两平行直线间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且这个距离处处相等（可通过几何直观或平移性质说明）。 验证：在直线l ：3x+4y-12=0上取两点P (0,3)和P (4,0)，分别计算它们到l ：3x+4y+8=0的距离。计算得P 到l 的距离，P 到l 的距离，验证距离处处相等。 2.两平行直线间距离公式推导 已知两条平行直线l ：A x+B y+C =0和l ：A x+B y+C =0，推导它们之间的距离d。 步骤1：统一直线方程形式 因为l ∥l ，所以（k≠0），可将l 和l 的方程化为x、y系数相同的一般式。不妨设A =kA ，B =kB ，将l 方程化为A x+B y+(C /k)=0，令C ’=C /k，则l ：A x+B y+C ’=0，l ：A x+B y+C =0，即两平行直线可表示为l ：Ax+By+C =0，l ：Ax+By+C =0（A、B不同时为0，C ≠C ）。 步骤2：转化为点到直线距离 在l 上取任意一点P (x ,y )，则Ax +By +C =0，即Ax +By =-C 。l 与l 之间的距离d等于P 到l 的距离，代入点到直线距离公式得：。 公式总结：两条平行直线l ：Ax+By+C =0与l ：Ax+By+C =0（C ≠C ）之间的距离公式为。 公式说明：①前提条件：两直线必须平行，且方程化为x、y系数完全相同的一般式；②分子为两直线常数项差的绝对值，分母为x、y系数平方和的算术平方根；③若两直线方程系数不同，需先化为相同系数才能代入公式。 3.即时应用：解决导入问题 导入问题中l ：3x+4y-12=0，l ：3x+4y+8=0，x、y系数相同，代入公式得，即两条跑道之间的距离为4米，快速验证公式的便捷性。 （三）例题讲解，巩固应用 例题1：直接运用公式计算距离（系数相同情况） 求下列两条平行直线间的距离：（1）l ：2x-3y+1=0，l ：2x-3y-5=0；（2）l ：x+y=5，l ：x+y+3=0。 解析：（1）x、y系数相同，直接代入公式得；（2）将l 化为x+y-5=0，l 为x+y+3=0，代入得。 小结：当直线方程为斜截式或其他形式时，需先化为x、y系数相同的一般式，再代入公式。 例题2：先化同系数再计算距离（系数不同情况） 求两条平行直线l ：4x-6y+3=0与l ：2x-3y-1=0之间的距离。 解析：两直线平行但x、y系数不同，需将系数化为相同。将l 两边同乘2，得l ’：4x-6y-2=0，此时l ：4x-6y+3=0与l ’系数相同 ... ...
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