(课件网) 综合与实践 最短路径问题 A C D E B F 1．从 A 地到 B 地有三条路可供选择，哪条路距离最短？ 两点的所有连线中，线段最短． D A C B 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 2．在灌溉时需要把河 AB 中的水引到 C 处，如何挖渠能使渠道最短？ 引言 日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题．在前面的学习中，我们知道，“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等，接下来我们对最短路径问题进行探究． 活动一 牧民饮马问题 任务1 如图，牧民从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 活动一 牧民饮马问题 任务1 如图，牧民从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 提示：如图，从数学的角度看，如果把河边 l 近似地看成一条直线，问题就是要在直线 l 上找一点 C，使AC与CB的和最小． 思考1 如图，如果点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找一点C，使 AC 与 CB 的和最小？ 活动一 牧民饮马问题 思考1 如图，如果点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找一点C，使 AC 与 CB 的和最小？ 活动一 牧民饮马问题 A B l 分析：连接 AB，与直线 l 相交于一点 C，这个交点 C 即为所求． 两点之间，线段最短． C 思考2 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为思考1中的问题吗？ 活动一 牧民饮马问题 分析：如果能把点 B 移到 l 的另一侧B′处，同时对直线 l 上的任一点 C，都保持 CB 与 CB′的长度相等，就可以把问题转化为“思考 1”的情况，从而使问题得到解决． C 思考2 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为思考1中的问题吗？ A 活动一 牧民饮马问题 B l 作法： （1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； B′ （2）连接 AB′ 交直线 l 于点 C； （3）则点 C 即为所求的点． 如图，当点 A，B 位于直线 l 的异侧时，连接 AB，与直线 l 的交点C，即为直线 l 上到点 A、点 B 距离之和最短的点． A l B C 结论1 两点在直线异侧的最短距离 活动一 牧民饮马问题 A B l B′ C 结论2 两点在直线同侧的最短距离 活动一 牧民饮马问题 如图，当点 A，B 位于直线 l 的同侧时，作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′，与直线 l 的交点 C，即为直线 l 上到点 A、点B 距离之和最短的点． 任务2 证明你在任务1中得到的结论． 活动一 牧民饮马问题 任务2 证明你在任务1中得到的结论． 活动一 牧民饮马问题 观看动图，思考如何证明 AC＋CB 最短． 分析：设点 C 为河边 l 上使AC＋CB 最小的点，在 l 上另外任取一点 C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B． A B l B′ C 已知：如图，点 B′是点 B 关于直线 l 的对称点，连接 AB′交直线 l 于点 C，连接BC，在直线 l 上任取一点 C′（异于点 C），连接 AC′，BC′，B′C′． 求证：AC＋CB＜AC′＋C′B． C′ 证明：由轴对称的性质知， CB＝CB′，BC′＝B′C′， ∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′， AC′＋BC′＝AC′＋B′C′． 活动一 牧民饮马问题 A B l B′ C C′ 由两点之间，线段最短可得， AB′＜AC′＋B′C′， ∴AC＋CB′＜AC′＋C′B′． 即AC＋CB＜AC′＋C′B． 即 AC＋CB 最短． 活动一 牧民饮马问题 活动二 牧民饮马问题的拓展 任务1 如图，牧民从 A 地出发，先到草地边某 ... ...
